câu 15 nhe

【Câu trả lời】：Để chứng minh rằng \( (u_n) \) là dãy số tăng, ta cần chứng minh rằng \( u_{n+1} > u_n \) với mọi \( n \) thuộc \( \mathbb{N}^* \). Ta có: \( u_{n+1} - u_n = \frac{{(n+1)-1}}{{2(n+1)+1}} - \frac{{n-1}}{{2n+1}} = \frac{{n}}{{2n+3}} - \frac{{n-1}}{{2n+1}} \). Đặt \( A = \frac{{n}}{{2n+3}} \) và \( B = \frac{{n-1}}{{2n+1}} \). Vậy ta cần chứng minh \( A > B \). \( A - B = \frac{{n}}{{2n+3}} - \frac{{n-1}}{{2n+1}} = \frac{{n(2n+1) - (n-1)(2n+3)}}{{(2n+1)(2n+3)}} \). \( A - B = \frac{{2n^2 + n - 2n^2 - 7n - 3}}{{(2n+1)(2n+3)}} = \frac{{-6n - 3}}{{(2n+1)(2n+3)}} \). Ta nhận thấy \( -6n - 3 < 0 \) với mọi \( n \) thuộc \( \mathbb{N}^* \), nên \( A - B < 0 \). Do đó, \( A < B \), tức là \( u_{n+1} < u_n \). Vậy ta đã chứng minh được rằng $ (u_n) $ là dãy số tăng.