Hai thành phố A và B ngăn cách nhau bởi một còn sông. Người ta cần xây cây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố A cách bờ sông 2( km), thành phố B cách bờ sông 5( km), khoảng...

Đây là một bài toán thuộc lớp bài toán tối ưu hóa trong hình học phẳng, sử dụng nguyên lý đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm số cần tối ưu hóa: Trong trường hợp này, chúng ta cần tìm vị trí của cây cầu sao cho tổng khoảng cách từ thành phố A đến cây cầu và từ cây cầu đến thành phố B là nhỏ nhất. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tối ưu hóa hàm số $$. 2. Tìm đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của hàm số $$ sẽ cho chúng ta biết hàm số tăng hay giảm tại mỗi điểm x. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số, chúng ta cần tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0. 3. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: Điểm cực trị có thể là điểm tối ưu mà chúng ta đang tìm kiếm. 4. Kiểm tra các điểm cực trị để xác định điểm tối ưu: Chúng ta cần kiểm tra xem hàm số có đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm cực trị hay không. Bây giờ, hãy bắt đầu giải quyết vấn đề này theo các bước đã nêu: 1. Hàm số cần tối ưu hóa là $$. 2. Đạo hàm của hàm số $$ là $$. 3. Đặt $$, ta có phương trình $$. Giải phương trình này, ta được $$. 4. Kiểm tra xem hàm số $$ có đạt giá trị nhỏ nhất tại $$ hay không. Ta thấy rằng $$ tại $$, do đó, $$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $$. Vậy, độ dài đoạn AM là 7.464 km.