Cưuusuuuuuuuuuuhsbshdhhd

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: - Đây là bài toán liên quan đến dãy số, yêu cầu chúng ta phải tìm số hạng tổng quát của dãy số, xác định tính tăng giảm và tính chặn của dãy. - Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định nghĩa và các tính chất của dãy số, cụ thể là sử dụng công thức số hạng tổng quát của dãy số, kiểm tra tính tăng giảm bằng cách so sánh hai số hạng liên tiếp và xác định tính chặn bằng cách tìm cận trên hoặc cận dưới của dãy. 2. Giải bài toán từng bước: a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy: - Sử dụng công thức số hạng tổng quát $U_n =\frac{4 n+3}{n+1}$, ta có thể tìm được 5 số hạng đầu tiên của dãy như sau: \[U_1 =\frac{4*1+3}{1+1} = \frac{7}{2}\] \[U_2 =\frac{4*2+3}{2+1} = \frac{11}{3}\] \[U_3 =\frac{4*3+3}{3+1} = \frac{15}{4}\] \[U_4 =\frac{4*4+3}{4+1} = \frac{19}{5}\] \[U_5 =\frac{4*5+3}{5+1} = \frac{23}{6}\] b) Chứng minh dãy số trên là dây tăng: - Để chứng minh dãy số trên là dãy tăng, ta cần chứng minh $U_{n+1} > U_n$ với mọi $n \geq 1$. Ta có: \[U_{n+1} - U_n = \frac{4(n+1)+3}{(n+1)+1} - \frac{4n+3}{n+1} = \frac{4}{n+2} - \frac{4}{n+1}\] - Vì $\frac{4}{n+2} < \frac{4}{n+1}$ nên $U_{n+1} - U_n < 0$, tức là dãy số $(U_n)$ là dãy tăng. c) Xét tính chặn của dãy trên: - Dễ thấy, dãy số $(U_n)$ có cận dưới là 0 và không có cận trên. Do đó, dãy số $(U_n)$ không bị chặn. d) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(U_n)$: - Từ hệ phương trình cho trước, ta có thể tìm được số hạng tổng quát của dãy số $(U_n)$ như sau: \[u_1 * u_3 = 1\] \[u_3 * u_5 = \frac{1}{16}\] - Giải hệ phương trình trên, ta tìm được $u_1 = 1$, $u_3 = 1$ và $u_5 = \frac{1}{16}$. Do đó, số hạng tổng quát của dãy số $(U_n)$ là $U_n = \frac{1}{16^n}$.