Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, ta cần sử dụng các thông tin về các mặt phẳng và cạnh của tứ diện. Đầu tiên, ta xác định được rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD sẽ đi qua 4 đỉnh A, B, C và D. Vì vậy, ta cần tìm tọa độ của các đỉnh này. Với mặt tam giác đều ABC, ta có thể xác định được tọa độ của các đỉnh A, B và C. Vì tam giác đều nên ta có thể cho tọa độ của A là (0, 0, 0), B là (1, 0, 0) và C là (0.5, sqrt(3)/2, 0). Tiếp theo, ta cần tìm tọa độ của đỉnh D. Ta biết rằng hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Vì vậy, ta có thể sử dụng tích vô hướng để tìm tọa độ của D. Gọi tọa độ của D là (x, y, z). Ta có thể xây dựng hai vector AB và AD từ tọa độ của các đỉnh đã biết: \[\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)\] \[\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (x, y, z) - (0, 0, 0) = (x, y, z)\] Vì hai vector này vuông góc với nhau, nên tích vô hướng của chúng bằng 0: \[\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\] \[(1, 0, 0) \cdot (x, y, z) = 0\] \[x = 0\] Từ đó, ta có tọa độ của D là (0, y, z). Để tìm các giá trị còn lại của y và z, ta sử dụng thông tin về mặt tam giác đều BCD. Với mặt tam giác đều BCD, ta có thể xác định được tọa độ của các đỉnh B, C và D. Vì tam giác đều nên ta có thể cho tọa độ của B là (1, 0, 0), C là (0.5, sqrt(3)/2, 0) và D là (0, y, z). Tiếp theo, ta sử dụng tích vô hướng để tìm giá trị của y và z. Gọi tọa độ của D là (0, y, z). Ta có: \[\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (0.5, sqrt(3)/2, 0) - (1, 0, 0) = (-0.5, sqrt(3)/2, 0)\] \[\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (0, y, z) - (1, 0, 0) = (-1, y, z)\] Vì hai vector này vuông góc với nhau, nên tích vô hướng của chúng bằng 0: \[\vec{BC} \cdot \vec{BD} = 0\] \[(-0.5, sqrt(3)/2, 0) \cdot (-1, y, z) = 0\] \[-0.5(-1) + sqrt(3)/2(y) + 0(z) = 0\] \[0.5 - sqrt(3)/2(y) = 0\] \[y = \frac{sqrt(3)}{3}\] Từ đó, ta có tọa độ của D là (0, sqrt(3)/3, z). Để tìm giá trị của z, ta sử dụng thông tin về mặt phẳng vuông góc với (ACD). Mặt phẳng (ACD) có phương trình là: x + y + z = d, trong đó d là một hằng số. Thay tọa độ của D vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[0 + \frac{sqrt(3)}{3} + z = d\] \[z = d - \frac{sqrt(3)}{3}\] Vậy tọa độ của D là (0, sqrt(3)/3, d - sqrt(3)/3). Cuối cùng, để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức: \[R = \frac{abc}{4V}\] Trong đó, a, b và c lần lượt là độ dài các cạnh AB, BC và AC của tam giác đều ABC, và V là thể tích của tứ diện ABCD. Ta đã biết rằng a = b = c = 2, vì tam giác đều. Và thể tích của tứ diện ABCD có thể tính được bằng công thức: \[V = \frac{1}{6}|\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|\] Thay các giá trị vào công thức, ta có: \[V = \frac{1}{6}|(1, 0, 0) \cdot ((0.5, sqrt(3)/2, 0) \times (0, sqrt(3)/3, d - sqrt(3)/3))|\] \[V = \frac{1}{6}|(1, 0, 0) \cdot (-sqrt(3)/6, -sqrt(3)/6, sqrt(3)/3)|\] \[V = \frac{1}{6}|-sqrt(3)/6|\] \[V = \frac{sqrt(3)}{18}\] Thay các giá trị vào công thức tính bán kính, ta có: \[R = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{4 \cdot \frac{sqrt(3)}{18}}\] \[R = \frac{8}{\frac{2 \cdot sqrt(3)}{3}}\] \[R = \frac{24}{2 \cdot sqrt(3)}\] \[R = \frac{12}{sqrt(3)}\] \[R = \frac{12 \cdot sqrt(3)}{3}\] \[R = 4 \cdot sqrt(3)\] \[R = 4 \cdot 1.7320508075688772\] \[R = 6.928203230275509\] Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là 6.928203230275509.