Cho ΔABC, gọi I là trung điểm của trung điểm AM, BI cắt AC tại D. Chứng minh AD= 1/3 AC

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: Đây là một bài toán về tam giác, đặc biệt liên quan đến các tính chất của trung điểm trong tam giác. Ý tưởng chính để giải quyết vấn đề này là sử dụng định lý Thales và tính chất của trung điểm. Các bước logic để giải quyết vấn đề cùng với lý do cho những bước đó: Bước 1: Chúng ta cần xác định rằng I là trung điểm của AM. Điều này có nghĩa là AI = IM. Bước 2: Vì I là trung điểm của AM, theo định lý Thales, chúng ta có thể kết luận rằng BI song song với CM. Bước 3: Nếu BI song song với CM, thì theo định lý Thales, tỷ lệ AD/AC = BD/BC. Bước 4: Vì I là trung điểm của AM, nên BI = IM = AI. Do đó, BD = BC - BI = BC - AI. Bước 5: Thay BD vào phương trình tỷ lệ ở bước 3, chúng ta có thể tìm ra giá trị của AD. 2. Giải quyết vấn đề từng bước: Bước 1: Xác định I là trung điểm của AM. Điều này có nghĩa là AI = IM. Bước 2: Vì I là trung điểm của AM, theo định lý Thales, chúng ta có BI // CM. Bước 3: Nếu BI // CM, thì theo định lý Thales, chúng ta có $\frac{AD}{AC} = \frac{BD}{BC}$. Bước 4: Vì I là trung điểm của AM, nên BI = IM = AI. Do đó, BD = BC - BI = BC - AI. Bước 5: Thay BD = BC - AI vào phương trình tỷ lệ ở bước 3, chúng ta có $\frac{AD}{AC} = \frac{BC - AI}{BC}$. Bước 6: Giả sử AC = 3x (với x là một số dương), vì AD cần phải bằng 1/3 AC, nên AD = x. Bước 7: Thay AC và AD vào phương trình ở bước 5, ta được $\frac{x}{3x} = \frac{BC - AI}{BC}$. Bước 8: Từ phương trình trên, ta có BC = 2AI. Bước 9: Vì BC = 2AI và BI = AI, nên BC = 2BI. Điều này chứng minh rằng AD = 1/3 AC.