Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S=A.e^rt , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

Question

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S=A.e^rt , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

booboo · Accepted Answer

Công thức tổng quát: $\displaystyle S=A.e^{rt}$
Với số lượng ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con, thay vào công thức ta có:
$\displaystyle 100.e^{5r} =300\Rightarrow e^{5r} =3\Rightarrow \left( e^{r}\right)^{5} =3\Rightarrow e^{r} =\sqrt[5]{3}$
Số lượng vi khuẩn sau 10 giờ là:
$\displaystyle 100.e^{10r} =100.\left( e^{5r}\right)^{2} =100.3^{2} =900$ (con)
Số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi tức là số lượng vi khuẩn là 200, thay vào ta được:
$ $$\displaystyle 100.e^{tr} =200\Rightarrow \left( e^{r}\right)^{t} =2\Rightarrow \left(\sqrt[5]{3}\right)^{t} =2\Rightarrow t=\log_{\sqrt[5]{3}} 2=5\log_{3} 2\approx 3,15$ (giờ)

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tăng trưởng của vi khuẩn: S = A \cdot e^{rt}, trong đó S là số lượng vi khuẩn sau một khoảng thời gian, A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng và t là thời gian tăng trưởng.

Theo đề bài, chúng ta biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con (A = 100) và sau 5 giờ có 300 con (S = 300). Chúng ta cần tìm số lượng vi khuẩn sau 10 giờ và thời gian để số lượng vi khuẩn ban đầu tăng gấp đôi.

Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm tỉ lệ tăng trưởng r. Ta có công thức:

S = A \cdot e^{rt}

Thay vào giá trị S = 300 và A = 100, ta có:

300 = 100 \cdot e^{5r}

Chia cả hai vế của phương trình cho 100, ta có:

3 = e^{5r}

Để tìm giá trị của r, chúng ta sẽ lấy logarit tự nhiên của cả hai vế:

\ln(3) = \ln(e^{5r})

Áp dụng tính chất của logarit, ta có:

\ln(3) = 5r \cdot \ln(e)

Vì \ln(e) = 1, ta có:

\ln(3) = 5r

Từ đây, ta tính được giá trị của r:

r = \frac{\ln(3)}{5}

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm số lượng vi khuẩn sau 10 giờ. Ta sử dụng công thức:

S = A \cdot e^{rt}

Thay vào giá trị A = 100, r = \frac{\ln(3)}{5} và t = 10, ta có:

S = 100 \cdot e^{\frac{\ln(3)}{5} \cdot 10}

Simplifying the expression, we have:

S = 100 \cdot e^{2 \ln(3)}

Applying the property of logarithms, we can rewrite this as:

S = 100 \cdot (e^{\ln(3)})^2

Since e^{\ln(3)} = 3, we have:

S = 100 \cdot 3^2

Simplifying further, we get:

S = 900

Vậy sau 10 giờ, sẽ có khoảng 900 con vi khuẩn.

Cuối cùng, chúng ta sẽ tìm thời gian để số lượng vi khuẩn ban đầu tăng gấp đôi. Để làm điều này, chúng ta sẽ giải phương trình:

2A = A \cdot e^{rt}

Thay vào giá trị A = 100 và r = \frac{\ln(3)}{5}, ta có:

2 \cdot 100 = 100 \cdot e^{\frac{\ln(3)}{5} \cdot t}

Simplifying the expression, we have:

200 = 100 \cdot e^{\frac{\ln(3)}{5} \cdot t}

Dividing both sides by 100, we get:

2 = e^{\frac{\ln(3)}{5} \cdot t}

Taking the natural logarithm of both sides, we have:

\ln(2) = \frac{\ln(3)}{5} \cdot t

Simplifying further, we get:

t = \frac{5 \cdot \ln(2)}{\ln(3)}

Calculating this value, we find:

t \approx 3.15

Vậy sau khoảng 3.15 giờ, số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi.

HanhPhuc · Answer

Theo Công thức ta có: $\displaystyle 300=100.e^{5r}$
$\displaystyle \Rightarrow r=0,22$
Sau 10h vi khuẩn có : $\displaystyle S=100.e^{10.0,22} =902,5$ (con)
Để vi khuẩn gấp đôi thì mất số thời gian là:
$\displaystyle 200=100.e^{0,22t}$
$\displaystyle \Rightarrow t=3,15\ ( h)$

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S=A.e^rt , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban...