Củng cố 9 ạ

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình của mặt cầu đi qua 4 điểm đã cho. Đầu tiên, ta biểu diễn một mặt cầu bằng phương trình chung của một mặt cầu: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$ Trong đó $(a,b,c)$ là tọa độ của tâm mặt cầu và $r$ là bán kính của mặt cầu. Với 4 điểm đã cho, ta có thể xây dựng hệ phương trình sau: $(2-a)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2 = r^2 \quad (1)$ $(0-a)^2 + (2-b)^2 + (0-c)^2 = r^2 \quad (2)$ $(0-a)^2 + (0-b)^2 + (2-c)^2 = r^2 \quad (3)$ $(2-a)^2 + (2-b)^2 + (2-c)^2 = r^2 \quad (4)$ Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm ra các giá trị của $a$, $b$, $c$ và $r$. Bắt đầu từ phương trình $(1)$, ta có: $(2-a)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2 = r^2$ $4 - 4a + a^2 + b^2 + c^2 = r^2$ $a^2 - 4a + b^2 + c^2 = r^2 - 4$ Tương tự, từ phương trình $(2)$, ta có: $a^2 + (2-b)^2 + c^2 = r^2 - 4$ Và từ phương trình $(3)$, ta có: $a^2 + b^2 + (2-c)^2 = r^2 - 4$ Cuối cùng, từ phương trình $(4)$, ta có: $(2-a)^2 + (2-b)^2 + (2-c)^2 = r^2$ $4 - 4a + a^2 + 4 - 4b + b^2 + 4 - 4c + c^2 = r^2$ $a^2 - 4a + b^2 - 4b + c^2 - 4c + 12 = r^2$ Từ đây, chúng ta có thể kết hợp các phương trình trên để loại bỏ biến $r$. Ta có: $a^2 - 4a + b^2 + c^2 = a^2 + (2-b)^2 + c^2$ $-4a + b^2 = 4 - 4b$ $4a + 4b = b^2 + 4$ $a + b = \frac{b^2}{4} + 1$ $a = \frac{b^2}{4} + 1 - b$ Tiếp theo, ta thay giá trị của $a$ vào phương trình $(1)$: $\left(\frac{b^2}{4} + 1 - b - 2\right)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2 = r^2$ $\left(\frac{b^2}{4} - b - 1\right)^2 + b^2 + c^2 = r^2$ $\frac{b^4}{16} - \frac{b^3}{2} + \frac{9b^2}{4} - 2b + 1 + b^2 + c^2 = r^2$ $\frac{b^4}{16} - \frac{b^3}{2} + \frac{13b^2}{4} - 2b + 1 + c^2 = r^2$ Cuối cùng, ta thay giá trị của $a$ vào phương trình $(2)$: $\left(\frac{b^2}{4} + 1 - b\right)^2 + \left(2-\left(\frac{b^2}{4} + 1 - b\right)\right)^2 + (0-c)^2 = r^2$ $\left(\frac{b^2}{4} - b + 1\right)^2 + \left(\frac{b^2}{4} + b - 1\right)^2 + c^2 = r^2$ $\frac{b^4}{16} - \frac{b^3}{2} + \frac{9b^2}{4} - 2b + 1 + \frac{b^4}{16} + \frac{b^3}{2} - \frac{9b^2}{4} + 2b - 1 + c^2 = r^2$ $\frac{b^4}{8} + c^2 = r^2$ Từ đây, ta có phương trình của mặt cầu: $\frac{b^4}{8} + c^2 = r^2$ Vậy phương trình của mặt cầu đi qua 4 điểm $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,2)$ và $D(2,2,2)$ là: $\frac{b^4}{8} + c^2 = r^2$