Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình của mặt cầu đi qua 4 điểm đã cho. Đầu tiên, ta biểu diễn một mặt cầu bằng phương trình chung của một mặt cầu:
$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$
Trong đó $(a,b,c)$ là tọa độ của tâm mặt cầu và $r$ là bán kính của mặt cầu.
Với 4 điểm đã cho, ta có thể xây dựng hệ phương trình sau:
$(2-a)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2 = r^2 \quad (1)$
$(0-a)^2 + (2-b)^2 + (0-c)^2 = r^2 \quad (2)$
$(0-a)^2 + (0-b)^2 + (2-c)^2 = r^2 \quad (3)$
$(2-a)^2 + (2-b)^2 + (2-c)^2 = r^2 \quad (4)$
Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm ra các giá trị của $a$, $b$, $c$ và $r$.
Bắt đầu từ phương trình $(1)$, ta có:
$(2-a)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2 = r^2$
$4 - 4a + a^2 + b^2 + c^2 = r^2$
$a^2 - 4a + b^2 + c^2 = r^2 - 4$
Tương tự, từ phương trình $(2)$, ta có:
$a^2 + (2-b)^2 + c^2 = r^2 - 4$
Và từ phương trình $(3)$, ta có:
$a^2 + b^2 + (2-c)^2 = r^2 - 4$
Cuối cùng, từ phương trình $(4)$, ta có:
$(2-a)^2 + (2-b)^2 + (2-c)^2 = r^2$
$4 - 4a + a^2 + 4 - 4b + b^2 + 4 - 4c + c^2 = r^2$
$a^2 - 4a + b^2 - 4b + c^2 - 4c + 12 = r^2$
Từ đây, chúng ta có thể kết hợp các phương trình trên để loại bỏ biến $r$. Ta có:
$a^2 - 4a + b^2 + c^2 = a^2 + (2-b)^2 + c^2$
$-4a + b^2 = 4 - 4b$
$4a + 4b = b^2 + 4$
$a + b = \frac{b^2}{4} + 1$
$a = \frac{b^2}{4} + 1 - b$
Tiếp theo, ta thay giá trị của $a$ vào phương trình $(1)$:
$\left(\frac{b^2}{4} + 1 - b - 2\right)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2 = r^2$
$\left(\frac{b^2}{4} - b - 1\right)^2 + b^2 + c^2 = r^2$
$\frac{b^4}{16} - \frac{b^3}{2} + \frac{9b^2}{4} - 2b + 1 + b^2 + c^2 = r^2$
$\frac{b^4}{16} - \frac{b^3}{2} + \frac{13b^2}{4} - 2b + 1 + c^2 = r^2$
Cuối cùng, ta thay giá trị của $a$ vào phương trình $(2)$:
$\left(\frac{b^2}{4} + 1 - b\right)^2 + \left(2-\left(\frac{b^2}{4} + 1 - b\right)\right)^2 + (0-c)^2 = r^2$
$\left(\frac{b^2}{4} - b + 1\right)^2 + \left(\frac{b^2}{4} + b - 1\right)^2 + c^2 = r^2$
$\frac{b^4}{16} - \frac{b^3}{2} + \frac{9b^2}{4} - 2b + 1 + \frac{b^4}{16} + \frac{b^3}{2} - \frac{9b^2}{4} + 2b - 1 + c^2 = r^2$
$\frac{b^4}{8} + c^2 = r^2$
Từ đây, ta có phương trình của mặt cầu:
$\frac{b^4}{8} + c^2 = r^2$
Vậy phương trình của mặt cầu đi qua 4 điểm $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,2)$ và $D(2,2,2)$ là:
$\frac{b^4}{8} + c^2 = r^2$