Giải giúp em với ạ

Câu 17. Để tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị Q1 (tứ phân vị thứ nhất) và Q3 (tứ phân vị thứ ba). 2. Tính khoảng tứ phân vị bằng cách lấy Q3 trừ đi Q1. Bước 1: Xác định Q1 và Q3 - Số lượng dữ liệu là 38, do đó: - Chỉ số của Q1 là $\frac{38 + 1}{4} = 9,75$, tức là nằm trong nhóm thứ hai ([163;166)). - Chỉ số của Q3 là $3 \times \frac{38 + 1}{4} = 29,25$, tức là nằm trong nhóm thứ tư ([169;172)). Bước 2: Tính giá trị cụ thể của Q1 và Q3 - Q1 nằm trong nhóm [163;166), với tần số lũy kế đến nhóm trước là 5 và tần số của nhóm này là 12. - Q1 = 163 + $\frac{(9,75 - 5)}{12} \times 3$ ≈ 163,98 cm - Q3 nằm trong nhóm [169;172), với tần số lũy kế đến nhóm trước là 26 và tần số của nhóm này là 7. - Q3 = 169 + $\frac{(29,25 - 26)}{7} \times 3$ ≈ 170,45 cm Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị - Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 170,45 - 163,98 = 6,47 cm Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 6,47 cm. Câu 18. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3x + \frac{4}{x^2} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(3x + \frac{4}{x^2}\right) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ y' = 3 - \frac{8}{x^3} \] 2. Tìm điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 3 - \frac{8}{x^3} = 0 \] \[ \frac{8}{x^3} = 3 \] \[ x^3 = \frac{8}{3} \] \[ x = \sqrt[3]{\frac{8}{3}} = \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \] 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm: Ta kiểm tra dấu của đạo hàm \( y' \) ở hai bên điểm \( x = \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \): - Khi \( x < \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \), ta có \( y' < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \), ta có \( y' > 0 \) (hàm số tăng). Do đó, tại \( x = \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. 4. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số: Thay \( x = \frac{2}{\sqrt[3]{3}} \) vào hàm số: \[ y = 3 \left(\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\right) + \frac{4}{\left(\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\right)^2} \] \[ y = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt[3]{3}} + \frac{4}{\frac{4}{\sqrt[3]{9}}} \] \[ y = \frac{6}{\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{9} \] \[ y = \frac{6}{\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{9} \] \[ y = 2 \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{9} \] \[ y = 3 \sqrt[3]{9} \] Để quy tròn đến hàng phần trăm, ta tính \( \sqrt[3]{9} \approx 2.08 \): \[ y \approx 3 \times 2.08 = 6.24 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3x + \frac{4}{x^2} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \) là \( 6.24 \). Câu 19. Để tìm tốc độ lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc của chất điểm: Vận tốc \( v(t) \) của chất điểm là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = -3t^2 + 12t + 1 \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc đạt cực đại: Để tìm thời điểm mà vận tốc đạt cực đại, ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ \frac{dv}{dt} = -6t + 12 \] Đặt \(\frac{dv}{dt} = 0\): \[ -6t + 12 = 0 \implies t = 2 \] 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại \( t = 2 \): Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ \frac{d^2v}{dt^2} = -6 \] Vì \(\frac{d^2v}{dt^2} < 0\), nên \( v(t) \) đạt cực đại tại \( t = 2 \). 4. Tính vận tốc tại \( t = 2 \): Thay \( t = 2 \) vào phương trình vận tốc: \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 1 = -3(4) + 24 + 1 = -12 + 24 + 1 = 13 \text{ m/s} \] 5. So sánh vận tốc tại các thời điểm khác: Ta cũng cần kiểm tra vận tốc tại các biên của khoảng thời gian \( t = 0 \) và \( t = 5 \): \[ v(0) = -3(0)^2 + 12(0) + 1 = 1 \text{ m/s} \] \[ v(5) = -3(5)^2 + 12(5) + 1 = -3(25) + 60 + 1 = -75 + 60 + 1 = -14 \text{ m/s} \] 6. Kết luận: So sánh các giá trị vận tốc: \[ v(0) = 1 \text{ m/s}, \quad v(2) = 13 \text{ m/s}, \quad v(5) = -14 \text{ m/s} \] Vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây là 13 m/s. Đáp số: Vận tốc lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên là 13 m/s. Câu 20. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tối ưu hóa thời gian bằng cách tìm điểm C trên bờ sông sao cho tổng thời gian chèo thuyền từ A đến C và chạy bộ từ C đến B là ngắn nhất. 1. Xác định các đại lượng: - Khoảng cách từ A đến O là 2 km. - Khoảng cách từ O đến B là 4 km. - Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h. - Vận tốc chạy bộ là 10 km/h. 2. Gọi khoảng cách từ O đến C là \( x \) km. - Khoảng cách từ A đến C là \( \sqrt{x^2 + 2^2} = \sqrt{x^2 + 4} \) km. - Khoảng cách từ C đến B là \( 4 - x \) km. 3. Thời gian chèo thuyền từ A đến C: \[ t_1 = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{6} \] 4. Thời gian chạy bộ từ C đến B: \[ t_2 = \frac{4 - x}{10} \] 5. Tổng thời gian là: \[ T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{6} + \frac{4 - x}{10} \] 6. Tìm giá trị \( x \) để \( T(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất: - Đạo hàm \( T(x) \): \[ T'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{6} + \frac{4 - x}{10}\right) \] \[ T'(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} - \frac{1}{10} \] - Đặt \( T'(x) = 0 \): \[ \frac{x}{6\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{1}{10} \] \[ 10x = 6\sqrt{x^2 + 4} \] \[ 5x = 3\sqrt{x^2 + 4} \] \[ 25x^2 = 9(x^2 + 4) \] \[ 25x^2 = 9x^2 + 36 \] \[ 16x^2 = 36 \] \[ x^2 = \frac{36}{16} = \frac{9}{4} \] \[ x = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ km} \] 7. Tính tổng thời gian khi \( x = 1.5 \) km: - Khoảng cách từ A đến C: \[ \sqrt{(1.5)^2 + 4} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5 \text{ km} \] - Thời gian chèo thuyền: \[ t_1 = \frac{2.5}{6} = \frac{5}{12} \text{ giờ} \] - Thời gian chạy bộ: \[ t_2 = \frac{4 - 1.5}{10} = \frac{2.5}{10} = \frac{1}{4} \text{ giờ} \] - Tổng thời gian: \[ T = \frac{5}{12} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \text{ giờ} \] \[ T = \frac{2}{3} \times 60 = 40 \text{ phút} \] Đáp số: Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Việt từ vị trí xuất phát đến được điểm B là 40 phút.