giúp mình với

a) Hình chiếu vuông góc của B lên các trục và mặt phẳng: - Trục Ox: $( -2 ; 0 ; 0 )$ - Mặt phẳng Oxy: $( -2 ; 1 ; 0 )$ - Mặt phẳng Ozx: $( -2 ; 0 ; 3 )$ b) Tính $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}$: - $\overrightarrow{AB} = (-2 - 1, 1 - 0, 3 - 2) = (-3, 1, 1)$ - $\overrightarrow{AC} = (3 - 1, 2 - 0, 4 - 2) = (2, 2, 2)$ - $\overrightarrow{BC} = (3 - (-2), 2 - 1, 4 - 3) = (5, 1, 1)$ Tính $\overrightarrow{AB} - 4\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}$: - $4\overrightarrow{AC} = 4(2, 2, 2) = (8, 8, 8)$ - $\overrightarrow{AB} - 4\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = (-3, 1, 1) - (8, 8, 8) + (5, 1, 1) = (-3 - 8 + 5, 1 - 8 + 1, 1 - 8 + 1) = (-6, -6, -6)$ c) Tính góc $\widehat{B}$ và $\widehat{A}$ trong $\Delta ABC$: - $\cos(\widehat{B}) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}|}$ - $\overrightarrow{BA} = (3, -1, -1)$ - $\overrightarrow{BC} = (5, 1, 1)$ - $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 3 \times 5 + (-1) \times 1 + (-1) \times 1 = 15 - 1 - 1 = 13$ - $|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$ - $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27}$ - $\cos(\widehat{B}) = \frac{13}{\sqrt{11} \times \sqrt{27}} = \frac{13}{\sqrt{297}}$ - $\widehat{B} = \cos^{-1}\left(\frac{13}{\sqrt{297}}\right)$ - $\cos(\widehat{A}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}$ - $\overrightarrow{AB} = (-3, 1, 1)$ - $\overrightarrow{AC} = (2, 2, 2)$ - $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -3 \times 2 + 1 \times 2 + 1 \times 2 = -6 + 2 + 2 = -2$ - $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$ - $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}$ - $\cos(\widehat{A}) = \frac{-2}{\sqrt{11} \times \sqrt{12}} = \frac{-2}{\sqrt{132}}$ - $\widehat{A} = \cos^{-1}\left(\frac{-2}{\sqrt{132}}\right)$ d) Tìm tọa độ điểm D sao cho B là trọng tâm của $\Delta ACD$: - Trọng tâm G của $\Delta ACD$ là: $G = \left(\frac{x_A + x_C + x_D}{3}, \frac{y_A + y_C + y_D}{3}, \frac{z_A + z_C + z_D}{3}\right)$ - Vì B là trọng tâm, ta có: $B = \left(\frac{1 + 3 + x_D}{3}, \frac{0 + 2 + y_D}{3}, \frac{2 + 4 + z_D}{3}\right)$ - Suy ra: $-2 = \frac{4 + x_D}{3}$, $1 = \frac{2 + y_D}{3}$, $3 = \frac{6 + z_D}{3}$ - Giải các phương trình này: - $-2 = \frac{4 + x_D}{3} \Rightarrow -6 = 4 + x_D \Rightarrow x_D = -10$ - $1 = \frac{2 + y_D}{3} \Rightarrow 3 = 2 + y_D \Rightarrow y_D = 1$ - $3 = \frac{6 + z_D}{3} \Rightarrow 9 = 6 + z_D \Rightarrow z_D = 3$ - Vậy tọa độ điểm D là: $D(-10, 1, 3)$ e) Tìm $E \in Oz$ sao cho $\Delta ABE$ vuông tại A: - Điểm E thuộc Oz có tọa độ $(0, 0, z_E)$ - Điều kiện để $\Delta ABE$ vuông tại A là: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = 0$ - $\overrightarrow{AB} = (-3, 1, 1)$ - $\overrightarrow{AE} = (0 - 1, 0 - 0, z_E - 2) = (-1, 0, z_E - 2)$ - $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = -3 \times (-1) + 1 \times 0 + 1 \times (z_E - 2) = 3 + z_E - 2 = 1 + z_E$ - Để $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = 0$, ta có: $1 + z_E = 0 \Rightarrow z_E = -1$ - Vậy tọa độ điểm E là: $E(0, 0, -1)$