giúp mình vs ạ

Câu 1. Để hàm số $y = -x^3 - mx^2 + (4m + 9)x + 5$ nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn âm trên toàn bộ khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} (-x^3 - mx^2 + (4m + 9)x + 5) = -3x^2 - 2mx + (4m + 9) \] Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$, đạo hàm $y'$ phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên toàn bộ khoảng này: \[ -3x^2 - 2mx + (4m + 9) \leq 0 \] Bước 3: Xét dấu của biểu thức $-3x^2 - 2mx + (4m + 9)$: - Đây là một tam thức bậc hai có hệ số cao nhất là $-3$, do đó nó mở rộng xuống dưới (nhỏ hơn 0) khi tam thức này luôn âm. Bước 4: Để tam thức bậc hai $-3x^2 - 2mx + (4m + 9)$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, ta cần: - Hệ số cao nhất là âm ($-3 < 0$) - Đạo hàm tam thức này không có nghiệm thực (điều kiện này đảm bảo rằng tam thức không cắt trục hoành) Bước 5: Kiểm tra điều kiện tam thức không có nghiệm thực: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4(-3)(4m + 9) = 4m^2 + 12(4m + 9) = 4m^2 + 48m + 108 \] \[ \Delta = 4(m^2 + 12m + 27) \] Để tam thức không có nghiệm thực, $\Delta$ phải nhỏ hơn hoặc bằng 0: \[ m^2 + 12m + 27 \leq 0 \] Bước 6: Giải bất phương trình $m^2 + 12m + 27 \leq 0$: \[ m^2 + 12m + 27 = (m + 3)(m + 9) \leq 0 \] Phương trình $(m + 3)(m + 9) = 0$ có nghiệm là $m = -3$ và $m = -9$. Do đó, tam thức $(m + 3)(m + 9)$ nhỏ hơn hoặc bằng 0 trong khoảng: \[ -9 \leq m \leq -3 \] Bước 7: Tìm các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $[-9, -3]$: \[ m = -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3 \] Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện hàm số nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$. Đáp số: 7 giá trị nguyên của $m$. Câu 2. Để chi phí xây dựng bờ rào xung quanh khu vườn là ít tốn kém nhất, ta cần tối thiểu hóa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật. Gọi chiều dài là \( a \) và chiều rộng là \( b \). Diện tích của mảnh đất là: \[ ab = 100 \] Chu vi của mảnh đất là: \[ P = 2(a + b) \] Ta cần tìm giá trị của \( a \) và \( b \) sao cho chu vi \( P \) là nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \] \[ a + b \geq 2\sqrt{100} \] \[ a + b \geq 20 \] Đẳng thức xảy ra khi \( a = b \). Vì vậy, để tối thiểu hóa chu vi, ta chọn \( a = b \). Từ \( ab = 100 \): \[ a^2 = 100 \] \[ a = 10 \] \[ b = 10 \] Vậy, \( a = 10 \) và \( b = 10 \). Kết quả của \( a + 2b \) là: \[ a + 2b = 10 + 2 \times 10 = 10 + 20 = 30 \] Đáp số: 30 Câu 3. Giả sử cửa hàng giảm giá bán mỗi kg vải là $x$ (nghìn đồng). Số vải bán được sẽ là: $25 + 50x$ (kg) Giá bán mỗi kg vải lúc sau là: $50 - x$ (nghìn đồng) Doanh thu của cửa hàng là: $(50 - x)(25 + 50x)$ (nghìn đồng) Chi phí mua vải là: $30(25 + 50x)$ (nghìn đồng) Lợi nhuận của cửa hàng là: $(50 - x)(25 + 50x) - 30(25 + 50x) = 25(-2x^2 + 45x + 50)$ (nghìn đồng) Ta có: $-2x^2 + 45x + 50 = -2(x - \frac{45}{4})^2 + \frac{2525}{8} \leq \frac{2525}{8}$ Dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{45}{4}$ Vậy giá bán mỗi kg vải để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là: $50 - \frac{45}{4} = \frac{155}{4}$ (nghìn đồng) Đáp số: $\frac{155}{4}$ (nghìn đồng) Câu 4. Để tính \(a + b + c\), ta cần xác định tọa độ của điểm \(A'\). Ta sẽ sử dụng tính chất của hình hộp để tìm tọa độ của \(A'\). Trước tiên, ta xác định tọa độ của điểm \(C\) bằng cách sử dụng tính chất của hình hộp: - Điểm \(C\) nằm trên cùng một mặt với \(A, B, D\), do đó tọa độ của \(C\) có thể được tìm bằng cách cộng tọa độ của \(B\) và \(D\) trừ đi tọa độ của \(A\): \[ C = B + D - A \] \[ C = (2, 1, 2) + (1, -1, 1) - (1, 0, 1) \] \[ C = (2 + 1 - 1, 1 - 1 + 0, 2 + 1 - 1) \] \[ C = (2, 0, 2) \] Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm \(A'\) bằng cách sử dụng tính chất của hình hộp: - Điểm \(A'\) nằm thẳng đứng so với \(A\) và có cùng tọa độ \(x\) và \(y\) với \(A\), nhưng tọa độ \(z\) của \(A'\) sẽ bằng tọa độ \(z\) của \(C'\) trừ đi tọa độ \(z\) của \(C\) cộng với tọa độ \(z\) của \(A\): \[ A' = A + (C' - C) \] \[ A' = (1, 0, 1) + ((4, 5, -5) - (2, 0, 2)) \] \[ A' = (1, 0, 1) + (4 - 2, 5 - 0, -5 - 2) \] \[ A' = (1, 0, 1) + (2, 5, -7) \] \[ A' = (1 + 2, 0 + 5, 1 - 7) \] \[ A' = (3, 5, -6) \] Vậy tọa độ của \(A'\) là \((3, 5, -6)\). Cuối cùng, ta tính \(a + b + c\): \[ a + b + c = 3 + 5 - 6 = 2 \] Đáp số: \(a + b + c = 2\). Câu 5. Trước tiên, ta nhận thấy rằng lực căng của ba sợi dây OA, OB, OC đều bằng nhau và đều hướng về tâm O của đèn. Vì vậy, ta có thể suy ra rằng tổng hợp của ba lực này sẽ tạo thành một lực thẳng đứng hướng xuống, cân bằng với trọng lượng của đèn. Ta sẽ tính tổng hợp của ba lực căng này. Vì ba sợi dây OA, OB, OC đôi một vuông góc, nên ta có thể sử dụng phương pháp cộng véc-tơ để tính tổng hợp của chúng. Gọi \( \overrightarrow{F} \) là tổng hợp của ba lực căng \( \overrightarrow{F_1} \), \( \overrightarrow{F_2} \), và \( \overrightarrow{F_3} \). Do ba lực căng đều bằng nhau và đều hướng về tâm O, ta có thể chia mỗi lực căng thành hai thành phần theo hai phương vuông góc với nhau. Ta sẽ tính tổng hợp của các thành phần này. Ta có: \[ |\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{F_3}| = 16 \text{ N} \] Vì ba sợi dây đôi một vuông góc, nên ta có thể sử dụng công thức cộng véc-tơ trong trường hợp vuông góc: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + |\overrightarrow{F_3}|^2} \] Thay các giá trị vào: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{16^2 + 16^2 + 16^2} \] \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{256 + 256 + 256} \] \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{768} \] \[ |\overrightarrow{F}| = 16\sqrt{3} \] Tính toán giá trị số: \[ |\overrightarrow{F}| \approx 16 \times 1.732 \] \[ |\overrightarrow{F}| \approx 27.712 \] Vậy trọng lượng của chiếc đèn là: \[ W \approx 27.7 \text{ N} \] Đáp số: Trọng lượng của chiếc đèn là 27.7 N. Câu 6. Để tính độ lệch chuẩn của mức giá đất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mức giá đất. 2. Tính phương sai của mức giá đất. 3. Tính độ lệch chuẩn từ phương sai. Bước 1: Tính trung bình cộng của mức giá đất Trung bình cộng của mức giá đất được tính bằng cách lấy tổng các giá trị nhân với tần suất tương ứng rồi chia cho tổng số khách hàng. \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} x_i \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{5} f_i} \] Trong đó: - \(x_i\) là giá trị trung tâm của mỗi khoảng giá. - \(f_i\) là số lượng khách hàng trong mỗi khoảng giá. Giá trị trung tâm của mỗi khoảng giá: - [10;14): \(x_1 = 12\) - [14;18): \(x_2 = 16\) - [18;22): \(x_3 = 20\) - [22;26): \(x_4 = 24\) - [26;30): \(x_5 = 28\) Tần suất tương ứng: - \(f_1 = 75\) - \(f_2 = 105\) - \(f_3 = 179\) - \(f_4 = 96\) - \(f_5 = 45\) Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(12 \times 75) + (16 \times 105) + (20 \times 179) + (24 \times 96) + (28 \times 45)}{500} \] \[ \bar{x} = \frac{900 + 1680 + 3580 + 2304 + 1260}{500} \] \[ \bar{x} = \frac{9724}{500} = 19.448 \] Bước 2: Tính phương sai của mức giá đất Phương sai được tính bằng cách lấy tổng các bình phương của hiệu giữa giá trị trung tâm của mỗi khoảng giá và trung bình cộng, nhân với tần suất tương ứng rồi chia cho tổng số khách hàng. \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2 \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{5} f_i} \] Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{(12 - 19.448)^2 \times 75 + (16 - 19.448)^2 \times 105 + (20 - 19.448)^2 \times 179 + (24 - 19.448)^2 \times 96 + (28 - 19.448)^2 \times 45}{500} \] \[ s^2 = \frac{(-7.448)^2 \times 75 + (-3.448)^2 \times 105 + (0.552)^2 \times 179 + (4.552)^2 \times 96 + (8.552)^2 \times 45}{500} \] \[ s^2 = \frac{415.2256 \times 75 + 118.8704 \times 105 + 0.3047 \times 179 + 20.7219 \times 96 + 73.1391 \times 45}{500} \] \[ s^2 = \frac{31141.92 + 12481.392 + 54.6653 + 1988.1696 + 3291.2595}{500} \] \[ s^2 = \frac{48957.3964}{500} = 97.9147928 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn từ phương sai Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{97.9147928} \approx 9.895 \] Vậy độ lệch chuẩn của mức giá đất là khoảng 9.9 triệu đồng (làm tròn đến hàng phần mười).