cho dãy số (un) với un = n/n+1.Chứng minh (un) là dãy số bị chặn

Ân Ngô HoàngĐể chứng minh dãy số (un)

 là dãy số bị chặn, ta cần tìm một giới hạn cho dãy số này. 

Đầu tiên, ta có công thức tổng quát của dãy số (un)

 là un=nn+1

. 

Ta sẽ chứng minh rằng dãy số này có giới hạn là 1. 

Để làm điều này, ta sẽ sử dụng định nghĩa của giới hạn. 

Theo định nghĩa, dãy số (un)

 có giới hạn bằng L

 nếu với mọi số dương ϵ

, ta có thể tìm được một số nguyên N

 sao cho khi n>N

, ta luôn có |un−L|<ϵ

. 

Giả sử L=1

. Ta sẽ chứng minh rằng với mọi số dương ϵ

, ta có thể tìm được một số nguyên N

 sao cho khi n>N

, ta luôn có |un−1|<ϵ

. 

Ta có |un−1|=∣∣nn+1−1∣∣=∣∣n−(n+1)n+1∣∣=∣∣−1n+1∣∣=1n+1

. 

Vì vậy, ta cần tìm một số nguyên N

 sao cho khi n>N

, ta luôn có 1n+1<ϵ

. 

Điều này tương đương với việc tìm một số nguyên N

 sao cho khi n>N

, ta luôn có n+1>1ϵ

. 

Vì 1ϵ

 là một số dương cố định, ta có thể chọn N

 là một số nguyên lớn hơn 1ϵ−1

. 

Do đó, ta đã chứng minh được rằng với mọi số dương ϵ

, ta có thể tìm được một số nguyên N

 sao cho khi n>N

, ta luôn có |un−1|<ϵ

. 

Từ đó, ta kết luận rằng giới hạn của dãy số (un)

 là 1. 

Vậy dãy số (un)

 là dãy số bị chặn.