Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại P. Chứng minh: AMPN là hình vuông

Bước 1: Xác định loại bài toán và ý tưởng chính để giải quyết bài toán cùng với các bước logic và lý do cho những bước đó. Đây là một bài toán về hình học, cụ thể là hình học không gian. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng các định lý và tính chất của tam giác vuông cân, tam giác đồng dạng và hình vuông. Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước. Chú ý đặc biệt đến logic và lý do. Bước 2.1: Xác định các tam giác đồng dạng Do M là trung điểm của AB nên AM = MB = a (vì tam giác ABC vuông cân tại A). Tương tự, AN = NC = a. Do đường MP song song với AC và MN là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có tam giác AMP đồng dạng với tam giác ABC (theo định lý đường trung bình trong tam giác). Bước 2.2: Chứng minh AMPN là hình vuông Do tam giác AMP đồng dạng với tam giác ABC nên góc AMP = góc ABC = 90 độ (vì ABC là tam giác vuông). Do đó, ta có góc AMP + góc PNM = 90 độ + 90 độ = 180 độ. Điều này chứng tỏ MN là đường phân giác của góc AMP. Vì vậy, tam giác AMN là tam giác cân tại A (vì AM = AN và MN là đường phân giác của góc A). Do đó, góc MAN = góc NAM = 45 độ. Vì góc MAN = góc NAP (do MN // AP) nên góc NAP = 45 độ. Vì vậy, tam giác NAP là tam giác vuông cân (vì góc NAP = 45 độ và NP = NA = a). Cuối cùng, ta có hình AMPN là hình vuông (vì AP = AM và góc PAM = 90 độ).