Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm tương đương với vectơ am + vectơ BM + vectơ CB = vectơ 0

Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán này. Đây là một bài toán về vectơ trong không gian, cụ thể là về trọng tâm của tam giác. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng định nghĩa và tính chất của trọng tâm tam giác. Trọng tâm của một tam giác là điểm giao nhau của ba đường trung bình của tam giác đó. Trong không gian vectơ, trọng tâm của tam giác ABC được biểu diễn bằng công thức: \[ G = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) \] Và tương tự, trọng tâm của tam giác MNP được biểu diễn bằng công thức: \[ G' = \frac{1}{3}(\vec{M} + \vec{N} + \vec{P}) \] Bước tiếp theo là chứng minh rằng hai trọng tâm này tương đương với vectơ \(\vec{am} + \vec{BM} + \vec{CB} = \vec{0}\). Bắt đầu bằng việc biểu diễn \(\vec{am}, \vec{BM}, \vec{CB}\) qua các vectơ \(\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{M}, \vec{N}, \vec{P}\): \[\vec{am} = \vec{A} - \vec{M}\] \[\vec{BM} = \vec{B} - \vec{M}\] \[\vec{CB} = \vec{C} - \vec{B}\] Thay các biểu thức này vào \(\vec{am} + \vec{BM} + \vec{CB} = \vec{0}\), ta được: \[(\vec{A} - \vec{M}) + (\vec{B} - \vec{M}) + (\vec{C} - \vec{B}) = \vec{0}\] Sắp xếp lại, ta có: \[\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} - 2\vec{M} = \vec{0}\] Nhân cả hai vế của phương trình với 3, ta được: \[3\vec{A} + 3\vec{B} + 3\vec{C} - 6\vec{M} = \vec{0}\] Chia cả hai vế cho 3, ta thu được: \[\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} - 2\vec{M} = \vec{0}\] So sánh với công thức trọng tâm, ta thấy rằng nếu \(\vec{M}\) là trọng tâm của tam giác ABC, thì phương trình trên đúng. Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm tương đương với vectơ \(\vec{am} + \vec{BM} + \vec{CB} = \vec{0}\).