giải cho tôi

Câu 17: Để xác định số mệnh đề đúng, ta xét từng mệnh đề: 1. Mệnh đề A: "Phương trình \(x^2 - 3x - 1 = 0\) có hai nghiệm trái dấu". - Phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\). Để có hai nghiệm trái dấu, tích của hai nghiệm phải âm, tức là \(c/a < 0\). - Ở đây, \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -1\). Ta có \(\frac{c}{a} = -1 < 0\). - Do đó, mệnh đề A đúng. 2. Mệnh đề B: "Số 111 không phải là số nguyên tố". - Số 111 có thể chia hết cho 3 (vì tổng các chữ số \(1 + 1 + 1 = 3\) chia hết cho 3). - Do đó, 111 không phải là số nguyên tố. Mệnh đề B đúng. 3. Mệnh đề C: "Số \(\pi\) lớn hơn số \(\frac{355}{113}\)". - Giá trị gần đúng của \(\pi \approx 3.14159\). - Tính \(\frac{355}{113} \approx 3.14159\). - Thực tế, \(\pi\) xấp xỉ bằng \(\frac{355}{113}\), nhưng không lớn hơn. Mệnh đề C sai. 4. Mệnh đề D: "Nếu \(a+b\) chia hết cho 5 thì \(a\) và \(b\) cùng chia hết cho 5". - Phản ví dụ: \(a = 5\), \(b = 0\) thì \(a+b = 5\) chia hết cho 5, nhưng \(b\) không chia hết cho 5. - Do đó, mệnh đề D sai. 5. Mệnh đề E: "Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau". - Điều kiện cần và đủ để một tứ giác là hình thoi là hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Mệnh đề E đúng. 6. Mệnh đề F: "\(\forall n \in \mathbb{N}, n^4 - n^2 + 1\) là hợp số". - Thử với \(n = 1\), ta có \(1^4 - 1^2 + 1 = 1\), không phải là hợp số. - Do đó, mệnh đề F sai. Kết luận: Có 3 mệnh đề đúng (A, B, E). Trả lời: 3. Câu 18: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Theo đề bài, ta có: - \(A \setminus B = \{a; b\}\) có 2 phần tử. - \(B \setminus A = \{c; d; e\}\) có 3 phần tử. - \(|A \cup B| = 9\). Gọi \(x\) là số phần tử của \(A \cap B\). Khi đó, số phần tử của \(A\) là: \[ |A| = |A \setminus B| + |A \cap B| = 2 + x \] Số phần tử của \(B\) là: \[ |B| = |B \setminus A| + |A \cap B| = 3 + x \] Thay vào công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp, ta có: \[ 9 = (2 + x) + (3 + x) - x \] Giải phương trình: \[ 9 = 5 + x \] \[ x = 4 \] Vậy số phần tử của tập hợp \(B\) là: \[ |B| = 3 + x = 3 + 4 = 7 \] Do đó, tập hợp \(B\) có 7 phần tử. Câu 19: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho tập hợp \( A = (m-1; m] \cap (3; 5) \) có đúng một số tự nhiên. Bước 1: Xác định tập hợp \( A \) Tập hợp \( A = (m-1; m] \cap (3; 5) \) là giao của hai khoảng: - \( (m-1; m] \) - \( (3; 5) \) Bước 2: Xét các trường hợp của \( m \) 1. Trường hợp 1: \( m \leq 4 \) - Khi đó, \( (m-1; m] \cap (3; 5) = (3; m] \). - Để có đúng một số tự nhiên trong khoảng này, ta cần \( 3 < m \leq 4 \). - Số tự nhiên duy nhất trong khoảng này là 4. 2. Trường hợp 2: \( m > 4 \) - Khi đó, \( (m-1; m] \cap (3; 5) = (m-1; 5) \). - Để có đúng một số tự nhiên trong khoảng này, ta cần \( m-1 < 4 \leq 5 \). - Điều này dẫn đến \( m < 5 \). Bước 3: Kết hợp các điều kiện Từ hai trường hợp trên, ta có: - \( 3 < m \leq 4 \) hoặc \( 4 < m < 5 \). Bước 4: Tìm khoảng \( m \) - Khoảng \( m \) thỏa mãn là \( m \in (3, 4] \cup (4, 5) \). Bước 5: Tìm \( a \) và \( b \) - \( a = 3 \) và \( b = 5 \). Bước 6: Tính \( S = 2a + 3b \) \[ S = 2 \times 3 + 3 \times 5 = 6 + 15 = 21 \] Vậy, giá trị của \( S \) là 21. Câu 20: Để giải bài toán này, ta cần tìm tập hợp \( X \) gồm 4 phần tử sao cho \( A \cup X = B \). Bước 1: Xác định tập hợp \( B \). Tập hợp \( B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x| \leq 4 \} \) là tập hợp các số nguyên \( x \) thỏa mãn \( -4 \leq x \leq 4 \). Do đó, \( B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \). Bước 2: Xác định các phần tử còn thiếu trong \( A \) để tạo thành \( B \). Tập hợp \( A = \{-4, -2, -1, 2, 3, 4\} \). Các phần tử còn thiếu trong \( A \) để tạo thành \( B \) là: \(-3, 0, 1\). Bước 3: Tìm tập hợp \( X \). Để \( A \cup X = B \), tập hợp \( X \) phải chứa các phần tử còn thiếu: \(-3, 0, 1\). Vì \( X \) có 4 phần tử, nên phần tử còn lại của \( X \) phải là một trong các phần tử đã có trong \( A \). Bước 4: Xác định số cách chọn phần tử còn lại. Các phần tử có thể chọn từ \( A \) là: \(-4, -2, -1, 2, 3, 4\). Do đó, có 6 cách chọn phần tử còn lại cho \( X \). Kết luận: Có 6 tập hợp \( X \) thỏa mãn điều kiện \( A \cup X = B \). Vậy, đáp án là: 6. Câu 21: Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức của tập hợp giao và hợp. Gọi: - \( A \) là tập hợp học sinh tham gia tiết mục nhảy hiện đại. - \( B \) là tập hợp học sinh tham gia tiết mục hát. Theo đề bài: - Số học sinh tham gia tiết mục nhảy hiện đại là \( |A| = 35 \). - Số học sinh tham gia cả hai tiết mục là \( |A \cap B| = 10 \). - Lớp 10A có tổng cộng 45 học sinh, trong đó có 4 học sinh không tham gia tiết mục nào. Số học sinh tham gia ít nhất một tiết mục là: \[ 45 - 4 = 41 \] Theo công thức của tập hợp: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Thay số vào, ta có: \[ 41 = 35 + |B| - 10 \] Giải phương trình trên: \[ 41 = 25 + |B| \] \[ |B| = 41 - 25 \] \[ |B| = 16 \] Vậy, có 16 học sinh tham gia tiết mục hát. Câu 22: Để giải bài toán này, ta cần xác định số học sinh chỉ thích học một trong hai môn Toán hoặc Văn. Ta sẽ sử dụng phương pháp đếm và lập luận từng bước như sau: 1. Ký hiệu và thông tin đã cho: - \( T \): Số học sinh thích học Toán = 20 - \( V \): Số học sinh thích học Văn = 22 - \( E \): Số học sinh thích học Tiếng Anh = 16 - \( TV \): Số học sinh thích học cả Toán và Văn = 8 - \( TVE \): Số học sinh thích học cả ba môn = 5 - Tổng số học sinh chỉ thích học đúng một môn = 19 2. Tính số học sinh chỉ thích học Toán hoặc Văn: - Số học sinh chỉ thích học Toán: \( T' = T - TV - (Số học sinh chỉ thích học Toán và Tiếng Anh) - TVE \) - Số học sinh chỉ thích học Văn: \( V' = V - TV - (Số học sinh chỉ thích học Văn và Tiếng Anh) - TVE \) 3. Tính số học sinh chỉ thích học Toán và Văn: - Số học sinh chỉ thích học Toán và Văn: \( TV' = TV - TVE = 8 - 5 = 3 \) 4. Tính số học sinh chỉ thích học Toán hoặc Văn: - Tổng số học sinh chỉ thích học Toán hoặc Văn: \( T' + V' = (T - TV - TVE) + (V - TV - TVE) \) - Thay số vào: \[ T' + V' = (20 - 8 - 5) + (22 - 8 - 5) = 7 + 9 = 16 \] 5. Kết luận: - Tổng số học sinh chỉ thích học một trong hai môn Toán hoặc Văn là 16. Vậy, tổng số học sinh chỉ thích học một trong hai môn Toán hoặc Văn là 16.