Cho tam giác ABC, đường cao AH, K là trung điểm AH. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại D. DK cắt (I) tại T. Cmr đường tròn ngoại tiếp tam gác TBC tiếp xúc với (I)

1. Đây là một bài toán hình học tam giác. Chúng ta cần chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác TBC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Các bước để giải quyết bài toán: - Sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác để chứng minh rằng K là trung điểm của đoạn thẳng AH. - Sử dụng tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác để chứng minh rằng AD là đường phân giác của góc BAC. - Sử dụng tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác để chứng minh rằng DT là đường phân giác của góc BTC. - Sử dụng tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác để chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác TBC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC tại điểm T. 2. Giải quyết từng bước một: Bước 1: Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng AH. - Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC tại H. - K là trung điểm của AH, nên KH cắt BC tại M sao cho KM = MH. - Ta cần chứng minh rằng AM = BM. - Vì KM = MH và AK = KH (do K là trung điểm của AH), nên tam giác AKM và tam giác KBH là tam giác đồng dạng. - Do đó, ta có tỉ số AK/KB = AM/BM. - Vì AK = KB (do K là trung điểm của AH), nên tỉ số AK/KB = 1. - Từ đó suy ra AM = BM. - Vậy K là trung điểm của đoạn thẳng AH. Bước 2: Chứng minh AD là đường phân giác của góc BAC. - Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. - Gọi E là giao điểm của đường thẳng AI và BC. - Ta cần chứng minh rằng AE = DE. - Vì I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nên AI vuông góc với BC tại E. - Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC tại H. - Vậy A, E, H thẳng hàng. - Do đó, tam giác AHD và tam giác AED là tam giác đồng dạng. - Từ đó suy ra AD là đường phân giác của góc BAC. Bước 3: Chứng minh DT là đường phân giác của góc BTC. - Gọi O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. - Gọi F là giao điểm của đường thẳng BO và AC. - Ta cần chứng minh rằng BF = CF. - Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nên BO vuông góc với AC tại F. - Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC tại H. - Vậy B, F, H thẳng hàng. - Do đó, tam giác BHD và tam giác BFD là tam giác đồng dạng. - Từ đó suy ra BD là đường phân giác của góc BDF. - Vì DT là đường thẳng đi qua điểm D và cắt đường tròn (I), nên DT là tiếp tuyến của đường tròn (I) tại điểm T. - Do đó, DT là đường phân giác của góc BTC. Bước 4: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác TBC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC tại điểm T. - Gọi P là giao điểm của đường thẳng BT và AC. - Ta cần chứng minh rằng TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác TBC. - Vì BD là đường phân giác của góc BDF và TP là đường phân giác của góc BTC, nên tam giác BDT và tam giác PTC là tam giác đồng dạng. - Từ đó suy ra tỉ số BD/PT = BT/TC. - Vì DT là tiếp tuyến của đường tròn (I) tại điểm T, nên BT = TC. - Từ đó suy ra BD = PT. - Vậy TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác TBC. - Do đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác TBC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC tại điểm T. Vậy ta đã chứng minh được rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác TBC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC.