Một số nguyên dương n được gọi là số tốt nếu n! chia hết cho n²+1. chứng minh rằng có vô số số tốt và vô số số không tốt

1. Đây là một bài toán về số học, cụ thể là về sự chia hết. Chúng ta cần chứng minh rằng có vô số số nguyên dương n được gọi là số tốt và vô số số không tốt. Ý tưởng chính để chứng minh điều này là sử dụng định lý Wilson và định lý Fermat nhỏ. Định lý Wilson: Nếu p là một số nguyên tố, thì (p-1)! ≡ -1 (mod p) Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 2. Để chứng minh rằng có vô số số tốt và vô số số không tốt, ta sẽ chứng minh từng phần: a) Chứng minh rằng có vô số số tốt: - Giả sử n! chia hết cho n²+1. - Ta sẽ chứng minh rằng n+1 cũng là số tốt. - Ta có (n+1)! = (n+1) * n! - Vì n! chia hết cho n²+1, nên (n+1)! cũng chia hết cho n²+1. - Vậy nếu n! chia hết cho n²+1, thì (n+1)! cũng chia hết cho n²+1. - Do đó, có vô số số tốt. b) Chứng minh rằng có vô số số không tốt: - Giả sử n là một số không tốt. - Ta sẽ chứng minh rằng (n+1) cũng là số không tốt. - Vì n không tốt, nên n! không chia hết cho n²+1. - Ta có thể viết lại định lý Wilson thành: (p-1)! ≡ p-1 (mod p) - Áp dụng định lý Wilson, ta có n! ≡ n (mod n²+1) - Vậy n! + 1 ≡ n + 1 (mod n²+1) - Điều này có nghĩa là (n+1)! không chia hết cho n²+1. - Do đó, nếu n không tốt, thì (n+1) cũng không tốt. - Vậy có vô số số không tốt. Như vậy, ta đã chứng minh được rằng có vô số số tốt và vô số số không tốt.