Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hànGọi M là trung điểm cạnh CD, G là trọng tâm tam giác SCD, E là giao điểm của AM và BD, F là điểm trên cạnh AB sao cho AB3AF. aTìm giao tuyến củ...

1. Đây là một bài toán hình học không gian với hình chóp tứ giác S.ABCD. Chúng ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), chứng minh EF song song với mặt phẳng (SAD), chứng minh GF song song với mặt phẳng (SAD), và tính tỉ số KS/KC. - Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). - Bước 2: Chứng minh EF song song với mặt phẳng (SAD). - Bước 3: Chứng minh GF song song với mặt phẳng (SAD). - Bước 4: Tính tỉ số KS/KC. 2. Giải bài toán theo từng bước: - Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Ta biết rằng một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng. Vì vậy, để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), chúng ta cần tìm điểm giao nhau của đường thẳng AB và CD. Gọi I là giao điểm của AB và CD. Ta có: \[\begin{align*} &\frac{CI}{ID} = \frac{CA}{AD} \quad \text{(vì ABCD là hình bình hành)} \\ &\frac{CI}{ID} = \frac{CB}{BA} \quad \text{(vì ABCD là hình bình hành)} \end{align*}\] Từ hai phương trình trên, suy ra: \[\frac{CA}{AD} = \frac{CB}{BA}\] Vậy, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng AB. - Bước 2: Chứng minh EF song song với mặt phẳng (SAD). Ta cần chứng minh rằng đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (SAD). Để làm điều này, chúng ta cần chứng minh rằng EF vuông góc với mặt phẳng (SAD). Gọi H là giao điểm của EF và AD. Ta cần chứng minh rằng SH vuông góc với mặt phẳng (SAD). Vì M là trung điểm của CD, nên ta có: \[\frac{CH}{HD} = \frac{CM}{MD} = \frac{1}{2}\] Vì E là giao điểm của AM và BD, nên ta có: \[\frac{AH}{HD} = \frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\] Từ hai phương trình trên, suy ra: \[\frac{CH}{HD} = \frac{AH}{HD}\] Vậy, ta có CH = AH. Do đó, tam giác SHC và SHA là hai tam giác cân có cạnh chung HC và HA. Vì vậy, đường thẳng SH vuông góc với mặt phẳng (SAD). Vậy, EF song song với mặt phẳng (SAD). - Bước 3: Chứng minh GF song song với mặt phẳng (SAD). Ta cần chứng minh rằng đường thẳng GF nằm trong mặt phẳng (SAD). Để làm điều này, chúng ta cần chứng minh rằng GF vuông góc với mặt phẳng (SAD). Gọi J là giao điểm của GF và AD. Ta cần chứng minh rằng SJ vuông góc với mặt phẳng (SAD). Vì G là trọng tâm tam giác SCD, nên ta có: \[\frac{SJ}{JD} = \frac{SG}{GD} = \frac{2}{3}\] Vì F là điểm trên cạnh AB sao cho AB = 3AF, nên ta có: \[\frac{AJ}{JD} = \frac{AF}{FD} = \frac{1}{3}\] Từ hai phương trình trên, suy ra: \[\frac{SJ}{JD} = \frac{AJ}{JD}\] Vậy, ta có SJ = AJ. Do đó, tam giác SJA và SJD là hai tam giác cân có cạnh chung SA và SD. Vì vậy, đường thẳng SJ vuông góc với mặt phẳng (SAD). Vậy, GF song song với mặt phẳng (SAD). - Bước 4: Tính tỉ số KS/KC. Gọi K' là giao điểm của SC và mặt phẳng (EFG). Ta cần tính tỉ số KS/KC. Vì EF song song với mặt phẳng (SAD), nên ta có: \[\frac{SK'}{K'C} = \frac{SG}{GC} = \frac{2}{3}\] Vì GF song song với mặt phẳng (SAD), nên ta có: \[\frac{SK'}{K'C} = \frac{SK}{KC}\] Từ hai phương trình trên, suy ra: \[\frac{SK}{KC} = \frac{2}{3}\] Vậy, tỉ số KS/KC bằng 2/3.