Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh rằng: a) AB + CD = AD + CB b) AB + CD + EA = CB + ED c) AC + DE - DC - CE + CB = AB

Bài toán này thuộc loại bài toán về vector trong không gian hai chiều. Để chứng minh các phương trình đã cho, ta sẽ sử dụng tính chất của vector và các phép toán trên vector. a) Ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}$ Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của vector. Ta biết rằng $\overrightarrow{AB}$ là vector từ điểm A đến điểm B, $\overrightarrow{CD}$ là vector từ điểm C đến điểm D, $\overrightarrow{AD}$ là vector từ điểm A đến điểm D và $\overrightarrow{CB}$ là vector từ điểm C đến điểm B. Theo tính chất của vector, ta có thể viết $\overrightarrow{AB}$ dưới dạng $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}$, và $\overrightarrow{CD}$ dưới dạng $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}$. Thay vào phương trình ban đầu, ta được: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD})$ Khi đó, các vector $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{BD}$ có cùng độ dài và hướng như nhau, nên chúng có thể được gộp lại thành một vector duy nhất. Tương tự, các vector $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cũng có thể được gộp lại thành một vector duy nhất. Vậy ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}$ b) Ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{ED}$ Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của vector. Ta biết rằng $\overrightarrow{AB}$ là vector từ điểm A đến điểm B, $\overrightarrow{CD}$ là vector từ điểm C đến điểm D, $\overrightarrow{EA}$ là vector từ điểm E đến điểm A, $\overrightarrow{CB}$ là vector từ điểm C đến điểm B và $\overrightarrow{ED}$ là vector từ điểm E đến điểm D. Thay vào phương trình ban đầu, ta được: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{ED}$ Tương tự như phần a), ta có thể gộp các vector có cùng hướng và độ dài lại với nhau. Vậy ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{ED}$ c) Ta có: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$ Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của vector. Ta biết rằng $\overrightarrow{AC}$ là vector từ điểm A đến điểm C, $\overrightarrow{DE}$ là vector từ điểm D đến điểm E, $\overrightarrow{DC}$ là vector từ điểm D đến điểm C, $\overrightarrow{CE}$ là vector từ điểm C đến điểm E và $\overrightarrow{CB}$ là vector từ điểm C đến điểm B. Thay vào phương trình ban đầu, ta được: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$ Tương tự như phần a) và b), ta có thể gộp các vector có cùng hướng và độ dài lại với nhau. Vậy ta có: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$ Vậy, ta đã chứng minh được các phương trình đã cho.