Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng a. Tính tích vô hướng của AB.BD, với D là trung điểm của BC

Để tính tích vô hướng của hai vector AB và BD, ta cần biết định nghĩa của tích vô hướng và cách tính nó. Tích vô hướng của hai vector được tính bằng công thức sau: \[\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BD} = |\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{BD}| \cdot \cos(\theta)\] trong đó |\mathbf{AB}| và |\mathbf{BD}| là độ dài của hai vector AB và BD, và \theta là góc giữa hai vector này. Trong tam giác ABC đều, ta có cạnh AB bằng a. Vì tam giác đều nên góc ABD cũng là góc đều, tức là có giá trị 60 độ. Để tính độ dài của vector AB, ta sử dụng định lý Pythagoras: \[|\mathbf{AB}| = \sqrt{AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\] Vì D là trung điểm của BC, nên độ dài của vector BD bằng một nửa độ dài của cạnh BC: \[|\mathbf{BD}| = \frac{1}{2}|\mathbf{BC}| = \frac{1}{2}a\] Thay các giá trị vào công thức tính tích vô hướng, ta có: \[\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BD} = a\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}a \cdot \cos(60^\circ)\] Vì \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, ta có thể đơn giản hóa biểu thức trên: \[\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BD} = \frac{a\sqrt{2} \cdot a}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{4}\] Do đó, tích vô hướng của AB và BD là \frac{a^2}{4}.