cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = a AD = a√3 SA vuông góc với đáy SC hợp với đáy một góc 60 độ xác định tâm và tính diện tích thể tích mặt cầu ngoại tiếp

Question

Accepted Answer

Gọi I là trung điểm SC
Gọi O là giao điểm của AC và BD
$\displaystyle \Rightarrow $O$\displaystyle \in $AC và O$\displaystyle \in $BD
Mà AC$\displaystyle \subset $(SAC) và BD$\displaystyle \subset $(SBD)
$\displaystyle \Rightarrow $O$\displaystyle \in $(SAC) và O$\displaystyle \in $(SBD)
Mà S$\displaystyle \in $(SAC) và S$\displaystyle \in $(SBD)
$\displaystyle \Rightarrow ( SAC) \cap ( SBD) =SO$
Xét $\displaystyle \vartriangle $ABC vuông tại B có:
$\displaystyle AC^{2} =AB^{2} +BC^{2}$ (định lý Pytago)
$\displaystyle \Rightarrow AC=\sqrt{a^{2} +\left( a\sqrt{3} ight)^{2}} =2a$
Vì ABCD là hình chữ nhật $\displaystyle \Rightarrow OA=OB=OC=OD=\frac{1}{2} AC=a$
Xét $\displaystyle \vartriangle $SAC vuông tại A có: $\displaystyle \widehat{SCA} =60^{o}$.
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
an\widehat{SCA} =\frac{SA}{AC} \Rightarrow SA= an 60^{o} .2a=2a\sqrt{3}\
\sin\widehat{SCA} =\frac{SA}{SC} \Rightarrow SC=\frac{2a\sqrt{3}}{\sin 60^{o}} =4a\Rightarrow SI=IC=2a
\end{array}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $SAC có:
O là trung điểm AC và I là trung điểm SC
$\displaystyle \Rightarrow $OI là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle $SAC
$\displaystyle \Rightarrow OI=\frac{1}{2} SA=a\sqrt{3}$
Lại có OI là đường trung bình $\displaystyle \vartriangle $SAC
$\displaystyle \Rightarrow $OI // SA mà SA$\displaystyle \bot $(ABCD)
$\displaystyle \Rightarrow $OI$\displaystyle \bot $(ABCD)
Xét $\displaystyle \vartriangle $BOI vuông tại O có: $\displaystyle IB^{2} =OB^{2} +OI^{2}$ (Định lý Pytago)
Xét $\displaystyle \vartriangle $DOI vuông tại O có $\displaystyle ID^{2} =OD^{2} +OI^{2}$ (định lý Pytago)
Xét $\displaystyle \vartriangle $AOI vuông tại O có: $\displaystyle IA^{2} =OA^{2} +OI^{2}$ (định lý Pytago)
Xét $\displaystyle \vartriangle $COI vuông tại O có: $\displaystyle IC^{2} =OC^{2} +OI^{2}$ (định lý Pytago)
$\displaystyle \Rightarrow IB=ID=IA=IC$ (1)
Xét $\displaystyle \vartriangle $SAC vuông tại A có I là trung điểm SC
$\displaystyle \Rightarrow AI=IS=IC$ (2)
Từ (1)(2)$\displaystyle \Rightarrow $I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp SABCD đường kính SC
Ta có:
$\displaystyle V=\frac{4}{3} \pi R^{3} =\frac{4}{3} \pi .( 2a)^{3} =\frac{32\pi a^{3}}{3}$