giup toi voi Câu 12: Cho hai điểm $A(-3;1;2)$ và $B(1;0;4).$ Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có,phương trình là:,$A.~4x-y+2z-9=0$ $B.~4x+y+2z+7=0$ $C.~4x-y+2z+9=0$ $D.~4x-y-2z+17=0$,Câu 13: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho $\overrightarrow u=(4;3;4),~\overrightarrow v=(2;-1;2),~\overrightarrow w=(1;2;1).$ Khi đó $[\overrightarrow u,\overrightarrow v].\overrightarrow w$ là:,A. 2 B. 0 C. 1 D. 3

Question

Accepted Answer

Câu 12:
Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(-3;1;2)$ và vuông góc với đường thẳng $AB$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

   Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$. Ta tính $\overrightarrow{AB}$ như sau:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-3); 0 - 1; 4 - 2) = (4; -1; 2)
   $$

   Vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $AB$, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là $\overrightarrow{AB}$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $(4; -1; 2)$.

2. Lập phương trình mặt phẳng:

   Phương trình mặt phẳng có dạng:
   $$
   a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
   $$
   trong đó $(a; b; c)$ là vectơ pháp tuyến và $(x_0; y_0; z_0)$ là tọa độ của điểm thuộc mặt phẳng.

   Thay $(a; b; c) = (4; -1; 2)$ và $(x_0; y_0; z_0) = (-3; 1; 2)$ vào phương trình trên, ta có:
   $$
   4(x + 3) - 1(y - 1) + 2(z - 2) = 0
   $$

3. Rút gọn phương trình:

   Ta thực hiện phép nhân và cộng để rút gọn phương trình:
   $$
   4x + 12 - y + 1 + 2z - 4 = 0
   $$
   $$
   4x - y + 2z + 9 = 0
   $$

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(-3;1;2)$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là:
$$
\boxed{4x - y + 2z + 9 = 0}
$$

Do đó, đáp án đúng là:
$$
\text{C. } 4x - y + 2z + 9 = 0
$$

Câu 13:
Để tính $[\overrightarrow u,\overrightarrow v].\overrightarrow w$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính tích vector $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$.

Tích vector của hai vector $\overrightarrow u = (u_1, u_2, u_3)$ và $\overrightarrow v = (v_1, v_2, v_3)$ được tính theo công thức:
$$
\overrightarrow u \times \overrightarrow v = \left( u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1 \right)
$$

Áp dụng vào bài toán:
$$
\overrightarrow u \times \overrightarrow v = \left( 3 \cdot 2 - 4 \cdot (-1), 4 \cdot 2 - 4 \cdot 2, 4 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 \right)
$$
$$
= \left( 6 + 4, 8 - 8, -4 - 6 \right)
$$
$$
= (10, 0, -10)
$$

Bước 2: Tính tích vô hướng của kết quả từ bước 1 với $\overrightarrow w$.

Tích vô hướng của hai vector $\overrightarrow a = (a_1, a_2, a_3)$ và $\overrightarrow b = (b_1, b_2, b_3)$ được tính theo công thức:
$$
\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$

Áp dụng vào bài toán:
$$
(\overrightarrow u \times \overrightarrow v) \cdot \overrightarrow w = (10, 0, -10) \cdot (1, 2, 1)
$$
$$
= 10 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + (-10) \cdot 1
$$
$$
= 10 + 0 - 10
$$
$$
= 0
$$

Vậy $[\overrightarrow u,\overrightarrow v].\overrightarrow w = 0$.

Đáp án đúng là: B. 0