help meeeeeeee

Bài toán này là một bài toán về vi phân. Chúng ta cần tìm hàm số $f(x)$ sao cho đạo hàm của nó là $x + \sin(x)\sin(2x)$. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc tích phân ngược để tính hàm số $f(x)$ từ đạo hàm của nó. Cụ thể, ta sẽ tích phân cả hai vế của phương trình $f'(x) = x + \sin(x)\sin(2x)$ để tìm được hàm số $f(x)$. Bước 1: Tích phân cả hai vế của phương trình: \[\int f'(x) dx = \int (x + \sin(x)\sin(2x)) dx.\] Bước 2: Áp dụng quy tắc tích phân ngược, ta có: \[f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos(x)\sin(2x) + C,\] trong đó $C$ là hằng số tích cực. Bước 3: Sử dụng điều kiện $f(0) = 2$, ta có: \[f(0) = \frac{0^2}{2} - \cos(0)\sin(2 \cdot 0) + C = 2.\] Từ đó, ta tìm được giá trị của $C$: \[C = 2.\] Bước 4: Đặt lại hàm số $f(x)$ với giá trị của $C$ đã tìm được: \[f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos(x)\sin(2x) + 2.\] Bước 5: Tính giá trị của $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ bằng cách thay $x = \frac{\pi}{2}$ vào công thức hàm số đã tìm được: \[f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}{2} - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + 2.\] Bước 6: Tính toán giá trị cuối cùng: \[f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{4} - 0 + 2 = \frac{\pi^2}{4} + 2.\] Vậy, giá trị của $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ là $\frac{\pi^2}{4} + 2$.