help meeeeeeeee

1. Đây là một bài toán tích phân, cụ thể là tích phân không định. Chúng ta cần tìm nguyên hàm của biểu thức $\frac{2x+3}{4x^2-4x+1}$. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân rã thành tổng các phân thức đơn giản và sau đó tính nguyên hàm của từng phân thức. 2. Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp phân rã thành tổng các phân thức đơn giản. Đầu tiên, ta cần phân tích mẫu số $4x^2-4x+1$ thành các thừa số nhân với nhau. Ta có: $4x^2-4x+1=(2x-1)^2$ Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu dưới dạng: $I=\int\frac{2x+3}{(2x-1)^2}dx$ Tiếp theo, ta sẽ phân rã phân thức $\frac{2x+3}{(2x-1)^2}$ thành tổng các phân thức đơn giản. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp phân rã thành tổng các phân thức bậc nhất. Ta giả sử rằng: $\frac{2x+3}{(2x-1)^2}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{(2x-1)^2}$ Tiếp theo, ta sẽ tìm các giá trị của $A$ và $B$. Để làm điều này, ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình trên với $(2x-1)^2$ để loại bỏ mẫu số. Ta có: $2x+3=A(2x-1)+(2x-1)^2B$ Đặt $x=\frac{1}{2}$, ta có: $2\cdot\frac{1}{2}+3=A(2\cdot\frac{1}{2}-1)+(2\cdot\frac{1}{2}-1)^2B$ $1+3=A(1-1)+(1-1)^2B$ $4=0+0$ Phương trình trên không có nghiệm. Do đó, ta không thể tìm được các giá trị của $A$ và $B$ bằng phương pháp này. Tuy nhiên, ta có thể sử dụng phương pháp khác để tìm các giá trị của $A$ và $B$. Ta sẽ lấy đạo hàm của cả hai vế của phương trình trên theo $x$ để loại bỏ mẫu số. Ta có: $2+0=A+2(2x-1)B$ Đặt $x=\frac{1}{2}$, ta có: $2+0=A+2(2\cdot\frac{1}{2}-1)B$ $2=A+2(0)B$ $2=A$ Do đó, ta có $A=2$. Tiếp theo, ta sẽ tìm giá trị của $B$. Ta sẽ lấy đạo hàm của cả hai vế của phương trình trên theo $x$ và đặt $x=\frac{1}{2}$. Ta có: $2+0=2+2(2\cdot\frac{1}{2}-1)B$ $2=2+2(0)B$ $2=2$ Phương trình trên đúng với mọi giá trị của $B$. Do đó, ta không thể tìm được giá trị cụ thể của $B$. Từ đây, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu dưới dạng: $I=\int\frac{2x+3}{(2x-1)^2}dx=\int\frac{2}{2x-1}dx+\int\frac{B}{(2x-1)^2}dx$ Giải tích phân đầu tiên, ta có: $\int\frac{2}{2x-1}dx=2\int\frac{1}{2x-1}dx=2ln|2x-1|+C_1$ Giải tích phân thứ hai, ta có: $\int\frac{B}{(2x-1)^2}dx=B\int\frac{1}{(2x-1)^2}dx$ Để tính giá trị của $\int\frac{1}{(2x-1)^2}dx$, ta sẽ thực hiện một phép thay đổi biến số. Đặt $u=2x-1$, ta có $du=2dx$. Khi đó, biểu thức trở thành: $\int\frac{1}{u^2}\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{2u}+C_2$ Thay biến số ban đầu $u=2x-1$ vào, ta có: $\int\frac{B}{(2x-1)^2}dx=-\frac{B}{2(2x-1)}+C_2$ Từ đây, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu dưới dạng: $I=\int\frac{2x+3}{(2x-1)^2}dx=2ln|2x-1|-\frac{B}{2(2x-1)}+C$ Với $C=C_1+C_2$.