cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của HA,HB,HC.gọi Q,R là trung điểm của BC,AC.Chứng minh: a,MNPR là hình chữ nhật b, D,E,F,M,N,P,Q,R cùng cách...

1. Đây là một bài toán hình học trong tam giác. Chúng ta cần chứng minh hai phần: a) MNPR là hình chữ nhật. b) D, E, F, M, N, P, Q, R đồng điều một điểm. 2. Giải quyết từng phần một: a) Để chứng minh MNPR là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh các cạnh của nó là song song với các cạnh của tam giác ABC và độ dài các cạnh đối diện bằng nhau. Ta có: - Vì M là trung điểm của HA, nên ta có MA = MH. - Vì N là trung điểm của HB, nên ta có NB = NH. - Vì P là trung điểm của HC, nên ta có PC = PH. - Vì Q là trung điểm của BC, nên ta có BQ = QC. - Vì R là trung điểm của AC, nên ta có AR = RC. Từ đó, ta có: - MN là đường trung bình của tam giác ABC, nên MN song song với AB và MN = 1/2 * AB. - NP là đường trung bình của tam giác ABC, nên NP song song với AC và NP = 1/2 * AC. - MP là đường trung bình của tam giác ABC, nên MP song song với BC và MP = 1/2 * BC. - NR là đường trung bình của tam giác ABC, nên NR song song với AB và NR = 1/2 * AB. Vậy ta có MNPR là hình chữ nhật. b) Để chứng minh D, E, F, M, N, P, Q, R đồng điều một điểm, ta cần chứng minh rằng các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại một điểm H. Ta biết rằng trong tam giác nhọn ABC, đường cao AD, BE, CF đều cắt nhau tại một điểm H. Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC, nên theo định nghĩa trung điểm, ta có MA = MH, NB = NH, PC = PH. Từ đó, ta có: - D là giao điểm của đường cao AD và đường thẳng MN, nên D cách đều với M và N. - E là giao điểm của đường cao BE và đường thẳng NP, nên E cách đều với N và P. - F là giao điểm của đường cao CF và đường thẳng MP, nên F cách đều với M và P. Vì Q là trung điểm của BC, nên BQ = QC. Do đó, Q cách đều với B và C. Tương tự, vì R là trung điểm của AC, nên AR = RC. Do đó, R cách đều với A và C. Từ đó, ta có D, E, F, M, N, P, Q, R đồng điều một điểm. Vậy, chúng ta đã chứng minh xong cả hai phần a) và b) của bài toán.