trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ oxy cho tam giác ABC với A(2;-1),B(1;-2).trong tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: x+y-2=0.Tìm tọa độ điểm C biết diện tích tam giác ABC=27/2

Ta có M là trung điểm của AB thì $\displaystyle M\left(\frac{3}{2} ;\frac{-1}{2}\right)$
Gọi C(a;b)
Theo tính chất trọng tâm tam giác, có: $\displaystyle \begin{cases}
x_{G} =\frac{a+3}{3} & \\
y_{G} =\frac{b-3}{3} & 
\end{cases}$
Do G nằm trên d: 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \ \frac{a+3}{3} +\frac{b-3}{3} -2=0\\
\Leftrightarrow a+b=6\ ( 1)
\end{array}$
Ta có: $\displaystyle \overrightarrow{AB} =( 1;3) \Longrightarrow ( AB) :\ \frac{x-2}{1} =\frac{y-1}{3} \Leftrightarrow 3x-y-5=0\Leftrightarrow h( C,AB) =\frac{|3a-b-5|}{\sqrt{10}}$
Từ giả thiết: $\displaystyle S_{ABC} =\frac{1}{2} .AB.h( C;AB) =\frac{1}{2} .\sqrt{10} .\frac{|2a-b-5|}{2} =\frac{27}{2}$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow |2a-b-5|=27\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
2a-b-5=27 & \\
2a-b-5=-27 & 
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
2a-b=32 & \\
2a-b=-22 & 
\end{array} \right.
\end{array}$
Kết hợp với (1) ta có hai hệ:
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\left[ \begin{array}{l l}
\begin{cases}
a+b=6 & \\
2a-b=32 & 
\end{cases} & \\
\begin{cases}
a+b=6 & \\
2a-b=-22 & 
\end{cases} & 
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
\begin{cases}
a+b=6 & \\
3a=38 & 
\end{cases} & \\
\begin{cases}
a+b=6 & \\
3a=-18 & 
\end{cases} & 
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
\begin{cases}
b=\frac{-20}{3} & \\
a=\frac{38}{3} & 
\end{cases} & \\
\begin{cases}
b=12 & \\
a=-6 & 
\end{cases} & 
\end{array} \right.\\
\Longrightarrow C_{1}\left(\frac{38}{3} ;\frac{-20}{3}\right) ;\ C_{2}( -6;12)
\end{array}$