trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ oxy cho tam giác ABC với A(2;-1),B(1;-2).trong tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: x+y-2=0.Tìm tọa độ điểm C biết diện tích tam giác ABC=27/2

Question

Accepted Answer

Ta có M là trung điểm của AB thì $\displaystyle M\left(\frac{3}{2} ;\frac{-1}{2} ight)$
Gọi C(a;b)
Theo tính chất trọng tâm tam giác, có: $\displaystyle \begin{cases}
x_{G} =\frac{a+3}{3} & \
y_{G} =\frac{b-3}{3} &
\end{cases}$
Do G nằm trên d:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \ \frac{a+3}{3} +\frac{b-3}{3} -2=0\
\Leftrightarrow a+b=6\ ( 1)
\end{array}$
Ta có: $\displaystyle \overrightarrow{AB} =( 1;3) \Longrightarrow ( AB) :\ \frac{x-2}{1} =\frac{y-1}{3} \Leftrightarrow 3x-y-5=0\Leftrightarrow h( C,AB) =\frac{|3a-b-5|}{\sqrt{10}}$
Từ giả thiết: $\displaystyle S_{ABC} =\frac{1}{2} .AB.h( C;AB) =\frac{1}{2} .\sqrt{10} .\frac{|2a-b-5|}{2} =\frac{27}{2}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow |2a-b-5|=27\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
2a-b-5=27 & \
2a-b-5=-27 &
\end{array} ight.\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
2a-b=32 & \
2a-b=-22 &
\end{array} ight.
\end{array}$
Kết hợp với (1) ta có hai hệ:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\left[ \begin{array}{l l}
\begin{cases}
a+b=6 & \
2a-b=32 &
\end{cases} & \
\begin{cases}
a+b=6 & \
2a-b=-22 &
\end{cases} &
\end{array} ight.\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
\begin{cases}
a+b=6 & \
3a=38 &
\end{cases} & \
\begin{cases}
a+b=6 & \
3a=-18 &
\end{cases} &
\end{array} ight.\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
\begin{cases}
b=\frac{-20}{3} & \
a=\frac{38}{3} &
\end{cases} & \
\begin{cases}
b=12 & \
a=-6 &
\end{cases} &
\end{array} ight.\
\Longrightarrow C_{1}\left(\frac{38}{3} ;\frac{-20}{3} ight) ;\ C_{2}( -6;12)
\end{array}$