Từ một hộp chứa 12 viên bi gồm 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi. Xác suất để trong bốn viên bi được lấy có ít nhất một viên bi đỏ

Đầu tiên, ta cần tính tổng số khả năng có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp. Điều này được tính bằng cách sử dụng tổ hợp chập 4 của 12, ký hiệu là \(C_{12}^4\). \[n(\omega) = C_{12}^4 = \frac{{12!}}{{4!(12-4)!}} = 495\] Tiếp theo, ta cần tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố "trong bốn viên bi được lấy có ít nhất một viên bi đỏ". Điều này có nghĩa là ta cần tìm số cách để lấy ít nhất một viên bi đỏ từ ba viên bi đỏ và các viên bi khác từ số còn lại. Tuy nhiên, để giải quyết vấn đề này một cách dễ dàng hơn, ta sẽ tìm xác suất của biến cố phụ - không có viên bi đỏ nào trong bốn viên được chọn. Số kết quả thuận lợi cho việc này là \(C_9^4\) (chọn 4 viên từ 9 viên không phải màu đỏ). \[n(A') = C_9^4 = \frac{{9!}}{{4!(9-4)!}} = 126\] Vậy xác suất của biến cố phụ \(P(A')\) là: \[P(A') = \frac{{n(A')}}{{n(\omega)}} = \frac{{126}}{{495}}\] Cuối cùng, xác suất của biến cố gốc (ít nhất một viên bi đỏ) là phần bù của xác suất biến cố phụ: \[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{{126}}{{495}} = \frac{{369}}{{495}} = \frac{{123}}{{165}}\]