Tìm số nguyên dương bé nhất sao cho trong khai triển có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7/15

Đây là một bài toán thuộc lớp bài toán về tổ hợp và khai triển Newton. Bài toán yêu cầu tìm số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho trong khai triển $$ có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là $$. Hệ số của $$ được tính theo công thức tổ hợp: $$, trong đó "!" biểu thị giai thừa. Vì chúng ta đang tìm hai hệ số liên tiếp, chúng ta có thể giả sử rằng hai hệ số này là $$ và $$. Theo yêu cầu của bài toán, tỉ số giữa hai hệ số này phải là $$, do đó: $$ Sử dụng công thức tổ hợp, ta có: $$ Sau khi rút gọn biểu thức trên, ta được: $$ Giờ chúng ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho tỉ số trên đúng. Bằng cách thử nghiệm với các giá trị của k từ 0 trở đi, ta tìm được n nhỏ nhất là 21 (với k = 6). Vậy, số nguyên dương nhỏ nhất n cần tìm là 21.