Câu 5. Có 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam cùng xếp theo một hàng ngang, khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Có 5040 cách xếp hàng tùy ý 7 học sinh b) Có 208 cách xếp hàng để học...

Câu 5. a) Có 5040 cách xếp hàng tùy ý 7 học sinh. Đây là một hoán vị của 7 phần tử (3 học sinh nữ và 4 học sinh nam). Số cách xếp là 7! = 5040. Vậy mệnh đề này đúng. b) Có 208 cách xếp hàng để học sinh cùng giới đứng cạnh nhau. Đầu tiên, ta xếp 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam thành một hàng. Điều này có thể làm bằng cách xếp 7 phần tử này thành một hàng, kết quả là 7! = 5040 cách. Sau đó, ta xếp các học sinh cùng giới với nhau. Đối với học sinh nữ, có 3! = 6 cách xếp. Tương tự, đối với học sinh nam, có 4! = 24 cách xếp. Vì vậy, số cách xếp học sinh cùng giới đứng cạnh nhau là (7!)(3!)(4!) = 5040 * 6 * 24 = 725760. Tuy nhiên, đây là một con số quá lớn so với số cách xếp hàng có thể có. Để tìm ra số cách xếp hàng thực sự, ta cần chia cho tích của số cách xếp các học sinh nữ và nam riêng biệt, tức là 7! = 5040. Vậy số cách xếp hàng thực sự là (7!)(3!)(4!) / 7! = 3! * 4! = 6 * 24 = 144. Vậy mệnh đề này sai. c) Có 144 cách xếp hàng để học sinh nam và nữ xếp xen kẽ. Theo lập luận ở câu b, số cách xếp hàng thực sự là 144. Vậy mệnh đề này đúng. d) Có 700 cách xếp hàng để học sinh nữ đứng cạnh nhau. Đây là một hoán vị của 3 nhóm 3 học sinh nữ (coi như một phần tử), và 4 học sinh nam. Số cách xếp là 4! * 3! = 24 * 6 = 144. Tuy nhiên, đây là một con số quá nhỏ so với số cách xếp hàng có thể có. Để tìm ra số cách xếp hàng thực sự, ta cần nhân với số cách xếp các học sinh nữ riêng biệt, tức là 3! = 6. Vậy số cách xếp hàng thực sự là 4! * 3! * 3! = 144 * 6 = 864. Tuy nhiên, đây vẫn là một con số quá nhỏ so với số cách xếp hàng có thể có. Để tìm ra số cách xếp hàng thực sự, ta cần nhân với số cách xếp các học sinh nam riêng biệt, tức là 4! = 24. Vậy số cách xếp hàng thực sự là 4! * 3! * 3! * 4! = 864 * 24 = 20736. Tuy nhiên, đây vẫn là một con số quá nhỏ so với số cách xếp hàng có thể có. Để tìm ra số cách xếp hàng thực sự, ta cần nhân với số cách xếp các học sinh nữ và nam riêng biệt, tức là 7! = 5040. Vậy số cách xếp hàng thực sự là (4! * 3! * 3! * 4!) / 7! = 1. Vậy mệnh đề này sai.