Giúp mình với! Câu IV. (2,0 điểm).,Cho tập hợp $A=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}.$ . Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,có 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số tự nhiên đó không chia hết cho số 5 nhưng luôn có,mặt chữ số 1 và chữ số 5?

Question

Accepted Answer

$$ ext{Gọi số tự nhiên thoả mãn yêu cầu bài toán là } n = a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7$$

$$a_i \in A,\ i \in \{1;2;3;4;5;6;7\};\ ext{các chữ số } a_i ext{ đôi một khác nhau.}$$

$$ ext{Vì số tự nhiên } n ext{ không chia hết cho 5 nên: } a_7 otin \{0;5\} \Rightarrow a_7 \in \{1;2;3;4;6;7;8;9\}$$

$$ extbf{Trường hợp 1: Nếu } a_7 = 1$$

$$a_1 = 5,\ ext{có } A_8^5 ext{ cách chọn 5 chữ số còn lại từ tập } A \setminus \{1;5\}$$

$$a_1 e 5$$

$$ ext{+ Có 5 vị trí cho chữ số 5.}$$

$$ ext{+ Có 7 cách chọn } a_1\ ( ext{do } a_1 \in A \setminus \{0;5;1\})$$

$$ ext{+ Có } A_7^4 ext{ cách chọn 4 chữ số còn lại từ 7 chữ số của tập } A \setminus \{1;5;a_1\}$$

$$\Rightarrow ext{có } 5 \cdot 7 \cdot A_7^4\ ext{số.}$$

$$\Rightarrow ext{Trường hợp 1 có: } A_8^5 + 5 \cdot 7 \cdot A_7^4 = 36120\ ext{số.}$$

$$ extbf{Trường hợp 2: Nếu } a_7 e 1$$

$$ ext{- Số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau, luôn có số 1 và số 5, có số 0.}$$

$$ ext{+ Chọn } a_7,\ ext{có 7 cách chọn (do } a_7 \in \{0;1;5\})$$

$$ ext{+ Có 5 vị trí cho số 0}$$

$$ ext{+ Có 2 vị trí cho hai chữ số 1 và 5}$$

$$ ext{+ Có } A_5^2 ext{ cách chọn 3 chữ số còn lại từ tập } A \setminus \{a_7;0;1;5\}$$

$$\Rightarrow ext{có } 7 \cdot 5 \cdot A_5^2 \cdot A_6^3\ ext{số.}$$

$$ ext{- Số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau, luôn có chữ số 1 và chữ số 5, không có chữ số 0.}$$

$$ ext{+ Chọn } a_7,\ ext{có 7 cách chọn (do } a_7 otin \{0;1;5\})$$

$$ ext{+ Có } A_6^2 ext{ vị trí cho hai chữ số 1;5}$$

$$ ext{+ Có } A_6^4 ext{ cách chọn 4 chữ số còn lại từ tập } A \setminus \{a_7;0;1;5\}$$

$$\Rightarrow ext{có } 7 \cdot A_6^2 \cdot A_6^4\ ext{số.}$$

$$\Rightarrow ext{Trường hợp 2 có: } 7 \cdot 5 \cdot A_5^2 \cdot A_6^3 + 7 \cdot A_6^2 \cdot A_6^4 = 159600\ ext{số.}$$

$$ ext{Vậy có tất cả: } 36120 + 159600 = 195720\ ext{số.}$$