Giúp mình với!

Để giải tam giác, chúng ta sẽ sử dụng định lý sin và định lý cos. Dưới đây là cách giải cho từng phần của bài toán: a) Với $c = 35$, $A = 40^\circ$, $C = 120^\circ$. 1. Tìm góc B: \[ B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 40^\circ - 120^\circ = 20^\circ \] 2. Sử dụng định lý sin để tìm các cạnh a và b: Định lý sin: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\). - Tìm cạnh a: \[ \frac{a}{\sin 40^\circ} = \frac{35}{\sin 120^\circ} \] \[ a = \frac{35 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 120^\circ} \] - Tìm cạnh b: \[ \frac{b}{\sin 20^\circ} = \frac{35}{\sin 120^\circ} \] \[ b = \frac{35 \cdot \sin 20^\circ}{\sin 120^\circ} \] b) Với $a = 137.5$, $B = 83^\circ$, $C = 57^\circ$. 1. Tìm góc A: \[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 83^\circ - 57^\circ = 40^\circ \] 2. Sử dụng định lý sin để tìm các cạnh b và c: Định lý sin: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\). - Tìm cạnh b: \[ \frac{137.5}{\sin 40^\circ} = \frac{b}{\sin 83^\circ} \] \[ b = \frac{137.5 \cdot \sin 83^\circ}{\sin 40^\circ} \] - Tìm cạnh c: \[ \frac{137.5}{\sin 40^\circ} = \frac{c}{\sin 57^\circ} \] \[ c = \frac{137.5 \cdot \sin 57^\circ}{\sin 40^\circ} \] Với các bước trên, chúng ta đã giải được tam giác cho cả hai trường hợp. Các giá trị cụ thể của các cạnh có thể được tính toán bằng cách sử dụng máy tính để tìm giá trị của các hàm sin. Câu 3: Để giải tam giác \( ABC \) với các dữ kiện đã cho: \( a = 6,3 \), \( b = 6,3 \), và \(\widehat{C} = 54^\circ\), ta có thể sử dụng định lý cosin để tìm cạnh còn lại \( c \). Bước 1: Sử dụng định lý cosin Định lý cosin cho tam giác \( ABC \) có dạng: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ c^2 = 6,3^2 + 6,3^2 - 2 \cdot 6,3 \cdot 6,3 \cdot \cos 54^\circ \] Bước 2: Tính toán Tính \( 6,3^2 \): \[ 6,3^2 = 39,69 \] Tính \( 2 \cdot 6,3 \cdot 6,3 \): \[ 2 \cdot 6,3 \cdot 6,3 = 79,38 \] Tính \( \cos 54^\circ \). Sử dụng bảng giá trị lượng giác, ta có: \[ \cos 54^\circ \approx 0,5878 \] Thay vào công thức: \[ c^2 = 39,69 + 39,69 - 79,38 \cdot 0,5878 \] Tính \( 79,38 \cdot 0,5878 \): \[ 79,38 \cdot 0,5878 \approx 46,65 \] Tính \( c^2 \): \[ c^2 = 39,69 + 39,69 - 46,65 = 32,73 \] Tính \( c \): \[ c = \sqrt{32,73} \approx 5,72 \] Bước 3: Kết luận Vậy cạnh \( c \approx 5,72 \). Bước 4: Tính các góc còn lại Sử dụng định lý sin để tìm các góc \( A \) và \( B \). Định lý sin: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Tính \(\sin C\): \[ \sin C = \sin 54^\circ \approx 0,8090 \] Tính \(\sin A\): \[ \frac{6,3}{\sin A} = \frac{5,72}{0,8090} \] Tính \(\sin A\): \[ \sin A = \frac{6,3 \cdot 0,8090}{5,72} \approx 0,8910 \] Tìm góc \( A \): \[ A \approx \arcsin(0,8910) \approx 63^\circ \] Tính góc \( B \): \[ B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 63^\circ - 54^\circ = 63^\circ \] Kết luận cuối cùng Tam giác \( ABC \) có các cạnh \( a = 6,3 \), \( b = 6,3 \), \( c \approx 5,72 \) và các góc \( A \approx 63^\circ \), \( B \approx 63^\circ \), \( C = 54^\circ \). Câu 4: Để giải tam giác \(ABC\) với các dữ kiện đã cho: \(b = 32\), \(c = 45\), và \(\widehat{A} = 87^\circ\), ta sẽ sử dụng định lý sin để tìm các cạnh và góc còn lại. Bước 1: Tìm cạnh \(a\) Theo định lý sin, ta có: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Trước tiên, ta tìm \(a\) bằng cách sử dụng: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \] Do đó: \[ a = c \cdot \frac{\sin A}{\sin C} \] Nhưng trước tiên, ta cần tìm \(\sin C\). Để làm điều này, ta cần biết góc \(C\). Bước 2: Tìm góc \(C\) Sử dụng định lý cosin để tìm góc \(C\): \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Tuy nhiên, trước khi sử dụng định lý cosin, ta cần tìm góc \(B\) để có thể sử dụng định lý sin một cách hiệu quả. Bước 3: Tìm góc \(B\) Sử dụng định lý sin: \[ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Và: \[ \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \] Do đó: \[ \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} \] Nhưng trước tiên, ta cần tìm \(a\) để có thể tính \(\sin B\). Bước 4: Tìm \(a\) bằng cách sử dụng định lý cosin Sử dụng định lý cosin để tìm \(a\): \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ a^2 = 32^2 + 45^2 - 2 \cdot 32 \cdot 45 \cdot \cos 87^\circ \] Tính toán: \[ a^2 = 1024 + 2025 - 2880 \cdot \cos 87^\circ \] Sử dụng máy tính để tìm \(\cos 87^\circ\) và tính \(a\). Bước 5: Tìm góc \(B\) và \(C\) Sau khi có \(a\), sử dụng định lý sin để tìm \(\sin B\) và \(\sin C\): \[ \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} \] Tính \(\sin B\) và sau đó tìm góc \(B\) bằng cách sử dụng bảng sin hoặc máy tính. Cuối cùng, tính góc \(C\) bằng cách sử dụng tổng các góc trong tam giác: \[ C = 180^\circ - A - B \] Kết luận Sau khi tính toán, ta sẽ có các giá trị của \(a\), \(B\), và \(C\). Đảm bảo rằng các giá trị này thỏa mãn các điều kiện của tam giác và kiểm tra lại các bước tính toán để đảm bảo tính chính xác. Câu 5: Để giải tam giác \(ABC\) với các dữ kiện đã cho: \(a = 7\), \(b = 23\), và \(\widehat{C} = 130^\circ\), ta sẽ sử dụng định lý cosin để tìm cạnh còn lại và các góc còn lại của tam giác. Bước 1: Tìm cạnh \(c\) sử dụng định lý cosin Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) là: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ c^2 = 7^2 + 23^2 - 2 \cdot 7 \cdot 23 \cdot \cos 130^\circ \] Tính toán: \[ c^2 = 49 + 529 - 2 \cdot 7 \cdot 23 \cdot (-0.6428) \quad (\text{vì } \cos 130^\circ \approx -0.6428) \] \[ c^2 = 49 + 529 + 207.8968 \] \[ c^2 = 785.8968 \] \[ c \approx \sqrt{785.8968} \approx 28.02 \] Bước 2: Tìm góc \(\widehat{A}\) sử dụng định lý sin Định lý sin cho tam giác \(ABC\) là: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Sử dụng \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\): \[ \frac{7}{\sin A} = \frac{28.02}{\sin 130^\circ} \] \[ \sin A = \frac{7 \cdot \sin 130^\circ}{28.02} \] Tính toán: \[ \sin 130^\circ \approx 0.7660 \] \[ \sin A = \frac{7 \cdot 0.7660}{28.02} \approx 0.191 \] Suy ra: \[ A \approx \arcsin(0.191) \approx 11^\circ \] Bước 3: Tìm góc \(\widehat{B}\) Vì tổng ba góc trong tam giác bằng \(180^\circ\), ta có: \[ \widehat{B} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{C} \] \[ \widehat{B} = 180^\circ - 11^\circ - 130^\circ = 39^\circ \] Kết luận Tam giác \(ABC\) có: - Cạnh \(c \approx 28.02\) - Góc \(\widehat{A} \approx 11^\circ\) - Góc \(\widehat{B} \approx 39^\circ\) Câu 6: Để giải tam giác \(ABC\) với các dữ kiện đã cho: \(b = 14\), \(c = 10\), và \(\widehat{A} = 145^\circ\), ta sẽ sử dụng định lý cosin để tìm cạnh còn lại \(a\). Bước 1: Sử dụng định lý cosin Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) có dạng: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ a^2 = 14^2 + 10^2 - 2 \cdot 14 \cdot 10 \cdot \cos 145^\circ \] Bước 2: Tính \(\cos 145^\circ\) Ta biết rằng \(\cos 145^\circ = \cos (180^\circ - 35^\circ) = -\cos 35^\circ\). Bước 3: Tính giá trị của \(a^2\) Thay \(\cos 145^\circ = -\cos 35^\circ\) vào công thức: \[ a^2 = 196 + 100 + 280 \cdot \cos 35^\circ \] \[ a^2 = 296 + 280 \cdot \cos 35^\circ \] Bước 4: Tính giá trị của \(a\) Để tính giá trị cụ thể của \(a\), ta cần biết giá trị của \(\cos 35^\circ\). Giả sử \(\cos 35^\circ \approx 0.8192\) (giá trị gần đúng từ bảng lượng giác), ta có: \[ a^2 = 296 + 280 \cdot 0.8192 \] \[ a^2 = 296 + 229.376 \] \[ a^2 = 525.376 \] \[ a \approx \sqrt{525.376} \approx 22.91 \] Bước 5: Tìm các góc còn lại Sử dụng định lý sin để tìm các góc còn lại. Định lý sin cho biết: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Tính \(\sin A\): \[ \sin 145^\circ = \sin (180^\circ - 35^\circ) = \sin 35^\circ \approx 0.5736 \] Tính \(\sin B\): \[ \frac{22.91}{0.5736} = \frac{14}{\sin B} \] \[ \sin B = \frac{14 \cdot 0.5736}{22.91} \approx 0.350 \] Tìm góc \(B\): \[ B \approx \arcsin(0.350) \approx 20.49^\circ \] Tìm góc \(C\) bằng cách sử dụng tổng các góc trong tam giác: \[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 145^\circ - 20.49^\circ \approx 14.51^\circ \] Kết luận Tam giác \(ABC\) có các cạnh và góc như sau: - \(a \approx 22.91\) - \(\widehat{B} \approx 20.49^\circ\) - \(\widehat{C} \approx 14.51^\circ\) Câu 7: Để giải tam giác \(ABC\) với các cạnh \(a = 14\), \(b = 18\), \(c = 20\), ta có thể sử dụng định lý cosin để tìm các góc của tam giác. Bước 1: Tìm góc \(A\) Sử dụng định lý cosin: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 20^2 = 14^2 + 18^2 - 2 \cdot 14 \cdot 18 \cdot \cos C \] \[ 400 = 196 + 324 - 504 \cdot \cos C \] \[ 400 = 520 - 504 \cdot \cos C \] \[ 504 \cdot \cos C = 520 - 400 \] \[ 504 \cdot \cos C = 120 \] \[ \cos C = \frac{120}{504} = \frac{5}{21} \] Bước 2: Tìm góc \(B\) Sử dụng định lý cosin: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 14^2 = 18^2 + 20^2 - 2 \cdot 18 \cdot 20 \cdot \cos A \] \[ 196 = 324 + 400 - 720 \cdot \cos A \] \[ 196 = 724 - 720 \cdot \cos A \] \[ 720 \cdot \cos A = 724 - 196 \] \[ 720 \cdot \cos A = 528 \] \[ \cos A = \frac{528}{720} = \frac{11}{15} \] Bước 3: Tìm góc \(B\) Sử dụng định lý cosin: \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 18^2 = 14^2 + 20^2 - 2 \cdot 14 \cdot 20 \cdot \cos B \] \[ 324 = 196 + 400 - 560 \cdot \cos B \] \[ 324 = 596 - 560 \cdot \cos B \] \[ 560 \cdot \cos B = 596 - 324 \] \[ 560 \cdot \cos B = 272 \] \[ \cos B = \frac{272}{560} = \frac{17}{35} \] Kết luận Với các giá trị \(\cos A = \frac{11}{15}\), \(\cos B = \frac{17}{35}\), \(\cos C = \frac{5}{21}\), ta có thể tính các góc \(A\), \(B\), \(C\) bằng cách sử dụng bảng giá trị cosin hoặc máy tính cầm tay để tìm góc tương ứng. Tuy nhiên, trong bài toán này, chúng ta chỉ cần tìm các giá trị cosin của các góc. Câu 8: Để giải tam giác \(ABC\) với các cạnh \(a = 6\), \(b = 5\), \(c = 7\), ta có thể sử dụng định lý cosin để tìm các góc của tam giác. Bước 1: Tìm góc \(A\) Áp dụng định lý cosin cho góc \(A\): \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \cos A = \frac{5^2 + 7^2 - 6^2}{2 \times 5 \times 7} = \frac{25 + 49 - 36}{70} = \frac{38}{70} = \frac{19}{35} \] Sử dụng máy tính để tìm góc \(A\): \[ A \approx \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right) \approx 56.25^\circ \] Bước 2: Tìm góc \(B\) Áp dụng định lý cosin cho góc \(B\): \[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \cos B = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \times 6 \times 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7} \] Sử dụng máy tính để tìm góc \(B\): \[ B \approx \cos^{-1}\left(\frac{5}{7}\right) \approx 44.42^\circ \] Bước 3: Tìm góc \(C\) Sử dụng tổng các góc trong tam giác: \[ C = 180^\circ - A - B \] Thay các giá trị đã tính được: \[ C = 180^\circ - 56.25^\circ - 44.42^\circ \approx 79.33^\circ \] Kết luận Vậy các góc của tam giác \(ABC\) là: - \(A \approx 56.25^\circ\) - \(B \approx 44.42^\circ\) - \(C \approx 79.33^\circ\) Câu 9: Để giải tam giác \(ABC\) với các cạnh đã cho \(a = 6\), \(b = 7,3\), \(c = 4,8\), ta có thể sử dụng định lý cosin để tìm các góc của tam giác. Bước 1: Tìm góc \(A\) Sử dụng định lý cosin: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ \cos A = \frac{7,3^2 + 4,8^2 - 6^2}{2 \times 7,3 \times 4,8} \] Tính toán: \[ \cos A = \frac{53,29 + 23,04 - 36}{2 \times 7,3 \times 4,8} \] \[ \cos A = \frac{40,33}{70,08} \] \[ \cos A \approx 0,5756 \] Từ đó, góc \(A\) có thể được tính bằng cách sử dụng bảng giá trị cosin hoặc máy tính. Bước 2: Tìm góc \(B\) Sử dụng định lý cosin: \[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ \cos B = \frac{6^2 + 4,8^2 - 7,3^2}{2 \times 6 \times 4,8} \] Tính toán: \[ \cos B = \frac{36 + 23,04 - 53,29}{2 \times 6 \times 4,8} \] \[ \cos B = \frac{5,75}{57,6} \] \[ \cos B \approx 0,0998 \] Từ đó, góc \(B\) có thể được tính bằng cách sử dụng bảng giá trị cosin hoặc máy tính. Bước 3: Tìm góc \(C\) Sử dụng định lý cosin: \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ \cos C = \frac{6^2 + 7,3^2 - 4,8^2}{2 \times 6 \times 7,3} \] Tính toán: \[ \cos C = \frac{36 + 53,29 - 23,04}{2 \times 6 \times 7,3} \] \[ \cos C = \frac{66,25}{87,6} \] \[ \cos C \approx 0,7566 \] Từ đó, góc \(C\) có thể được tính bằng cách sử dụng bảng giá trị cosin hoặc máy tính. Kết luận Sau khi tính toán, ta có thể xác định các góc \(A\), \(B\), và \(C\) của tam giác \(ABC\). Các góc này có thể được tính chính xác hơn bằng cách sử dụng máy tính hoặc bảng giá trị lượng giác. Câu 10: Để giải tam giác \(ABC\) với các góc đã cho và tính diện tích của nó, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính góc còn lại của tam giác Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^\circ\), ta có: \[ \widehat{A} = 180^\circ - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \] Bước 2: Sử dụng định lý Sin để tính các cạnh còn lại Theo định lý Sin, ta có: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Với \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\), ta có: \[ \frac{a}{\sin 75^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ} \] Tính \(b\) và \(c\): \[ b = a \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} \] \[ c = a \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} \] Bước 3: Tính diện tích tam giác Diện tích tam giác \(ABC\) có thể được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin \widehat{A} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(a \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}\right) \cdot \sin 75^\circ \] Rút gọn: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} \cdot \sin 75^\circ \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin 60^\circ \] Vì \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \] Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\). Câu 1: Để tính diện tích \( S \) của tam giác \( ABC \) với các cạnh \( a = 7 \), \( b = 8 \), \( c = 6 \), ta có thể sử dụng công thức Heron. Công thức Heron cho diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh là: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] trong đó \( p \) là nửa chu vi của tam giác, được tính bằng: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] Bây giờ, ta tính \( p \): \[ p = \frac{7 + 8 + 6}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \] Tiếp theo, ta tính diện tích \( S \): \[ S = \sqrt{10.5(10.5 - 7)(10.5 - 8)(10.5 - 6)} \] \[ S = \sqrt{10.5 \times 3.5 \times 2.5 \times 4.5} \] \[ S = \sqrt{10.5 \times 3.5 \times 2.5 \times 4.5} = \sqrt{10.5 \times 3.5 \times 2.5 \times 4.5} \] Tính toán tiếp: \[ S = \sqrt{10.5 \times 3.5 \times 2.5 \times 4.5} = \sqrt{10.5 \times 3.5 \times 2.5 \times 4.5} \] \[ S = \sqrt{10.5 \times 3.5 \times 2.5 \times 4.5} = \sqrt{165.375} \] \[ S \approx 12.857 \] Vậy diện tích của tam giác \( ABC \) là khoảng \( 12.857 \). Tiếp theo, ta tính chiều cao \( h_0 \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \) (cạnh \( a \)) bằng công thức: \[ h_0 = \frac{2S}{a} \] \[ h_0 = \frac{2 \times 12.857}{7} \] \[ h_0 \approx \frac{25.714}{7} \approx 3.673 \] Vậy chiều cao \( h_0 \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \) là khoảng \( 3.673 \).