Câu 29. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 60. Người ta cắt ở 4 góc 4 hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp.Giúp mình với!

Câu 29. Gọi cạnh của hình vuông bị cắt là $$. Khi đó, chiều cao của hình hộp là $$, chiều dài là $$ và chiều rộng là $$. Thể tích của hình hộp là $$. Để tìm giá trị lớn nhất của $$, ta có thể tìm giá trị lớn nhất của hàm số $$ trên khoảng $$. Ta có $$. Giải phương trình $$ ta được $$. Lập bảng biến thiên của hàm số $$ trên khoảng $$, ta thấy $$ đạt giá trị lớn nhất tại $$. Vậy cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất là $$. Câu 30. Đầu tiên, chúng ta cần xác định các vectơ $$ và $$. Vectơ $$ là vectơ đơn vị theo phương AB. Vectơ $$ có thể được biểu diễn qua các vectơ đơn vị theo phương AB, AD và AM. Ta có: $$. Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung bình của tam giác BCD, do đó AM song song với AD và có độ dài bằng một nửa AD. Vậy $$. Do đó, $$. Bây giờ, chúng ta cần tính góc giữa hai vectơ $$ và $$. Theo công thức tính góc giữa hai vectơ, ta có: $$. Ta có: $$. Vì ABCD là tứ diện đều nên các cạnh AB, AD và AM đều có độ dài bằng a. Vậy $$. Do đó, $$. Và $$. Vậy $$. Tuy nhiên, kết quả này không hợp lý vì hai vectơ này không thể vuông góc với nhau. Có lẽ chúng ta đã tính sai góc giữa hai vectơ. Thực tế, góc giữa hai vectơ $$ và $$ là góc DAB trong tứ diện đều ABCD. Góc DAB bằng 60 độ. Vậy $$. Tuy nhiên, kết quả này cũng không hợp lý vì theo định nghĩa của hàm cos, giá trị của nó phải nằm trong đoạn [-1, 1]. Có lẽ chúng ta đã tính sai độ dài của các vectơ. Thực tế, độ dài của vectơ $$ không phải là $$. Ta có: $$. Vậy $$. Vậy $$. Có lẽ chúng ta đã tính sai góc giữa hai vectơ. Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 31. Để tìm khoảng nhiệt độ $$ mà thể tích V(T) tăng, ta cần tìm nghiệm của phương trình $$. Ta có: $$. Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta tính được: $$. Đặt $$, ta được: $$. Rút gọn và đổi dấu, ta được: $$. Đây là một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng công thức nghiệm bậc hai để tìm nghiệm: $$. Tính toán, ta được hai nghiệm: $$ và $$. Vì $$, nên ta chỉ xét khoảng $$. Vậy $$ và $$. Tính $$. Câu 32. Đặt chiều rộng của đáy hố là $$ (cm), chiều cao của hố là $$ (cm). Thể tích của hố ga là: $$. Theo đề bài, ta có $$. Diện tích của đáy hố ga là $$. Để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $$. Xét hàm số $$, với $$. Ta có $$. Cho $$ thì $$, nhưng $$ không thỏa mãn điều kiện bài toán. Với $$, ta có $$ nên hàm số $$ đồng biến trên $$. Do đó, hàm số $$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $$. Khi đó, diện tích của đáy hố ga là $$. Vậy diện tích của đáy hố ga để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là $$.