Giúp mình với!

Câu 1. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ là điểm uốn của đồ thị. Điểm uốn này chính là nghiệm của hệ phương trình: $\begin{cases} y'' = 0 \\ y''' \neq 0 \end{cases}$ Với hàm số $y = x^3 - 3x + 1$, ta có: $y' = 3x^2 - 3$ $y'' = 6x$ $y''' = 6$ Từ $y'' = 0$ ta có $6x = 0 \Rightarrow x = 0$. Thay $x = 0$ vào hàm số ta được $y = 0^3 - 3.0 + 1 = 1$. Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(0;1)$. Do đó $a + b = 0 + 1 = 1$. Câu 2. Đầu tiên, ta tìm các điểm cực trị của hàm số $y=x^3-3x^2+1$. Đạo hàm của hàm số là $y'=3x^2-6x$. Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $y'=0$, tức là $3x^2-6x=0$. Phương trình này có thể được viết lại thành $3x(x-2)=0$. Giải phương trình này, ta được $x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$, $y=0^3-3.0^2+1=1$. Tại $x=2$, $y=2^3-3.2^2+1=-1$. Vậy, hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $(0,1)$ và $(2,-1)$. Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: $y = a x + b$ Thay tọa độ của hai điểm vào phương trình, ta được: $1 = a.0 + b \Rightarrow b = 1$ $-1 = a.2 + 1 \Rightarrow a = -1$ Vậy, phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là $y = -x + 1$. Do đó, $a+b=-1+1=0$. Vậy, $a+b=0$. Câu 3. Đầu tiên, ta tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x-1}$. Để tìm các điểm cực trị, ta tính đạo hàm của hàm số và cho nó bằng 0. $y'=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x+1)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$. Cho $y'=0$ ta được $x^2-2x=0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$, $y=\frac{0^2+0+1}{0-1}=-1$. Tại $x=2$, $y=\frac{2^2+2+1}{2-1}=7$. Vậy hàm số có hai điểm cực trị là $A(0;-1)$ và $B(2;7)$. Trung điểm $I(a;b)$ của $AB$ có tọa độ: $a=\frac{0+2}{2}=1$ và $b=\frac{-1+7}{2}=3$. Vậy $a+b=1+3=4$. Câu 4. Đầu tiên, hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$ xác định với mọi $x \neq 1$. Để tìm cực trị của hàm số, ta tính đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. Ta có: $y'=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x-1)}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x+1-x^2-x+1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-3x+2}{(x-1)^2}.$ Tìm nghiệm của $y'=0$: $y'=0 \Leftrightarrow \frac{x^2-3x+2}{(x-1)^2}=0 \Leftrightarrow x^2-3x+2=0.$ Giải phương trình $x^2-3x+2=0$ ta được $x=1$ hoặc $x=2$. Nhưng $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình $y'=0$ vì làm cho mẫu số bằng 0. Vậy chỉ có $x=2$ là nghiệm của phương trình $y'=0$. Tính $y(2)$: $y(2)=\frac{2^2+2-1}{2-1}= \frac{4+1}{1}=5.$ Vậy hàm số đạt cực trị tại $x=2$, $y=5$. Tính $y'(2)$: $y'(2)=\frac{2^2-3.2+2}{(2-1)^2}=\frac{4-6+2}{1}=0.$ Vậy hàm số đạt cực trị tại $x=2$, $y=5$ và $y'(2)=0$. Do đó, hàm số chỉ có một cực trị duy nhất là $A(2;5)$. Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 0. Tuy nhiên, đây là một trường hợp đặc biệt, hàm số chỉ có một cực trị duy nhất. Trong trường hợp tổng quát, ta có thể tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng cách tìm các điểm cực trị và sử dụng công thức khoảng cách. Tìm các điểm cực trị: Giả sử hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị là $A(x_1;y_1)$ và $B(x_2;y_2)$. Khi đó, theo định lý Viet, ta có: $\begin{cases} x_1+x_2=S \\ x_1x_2=P \end{cases}.$ Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị: Khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ là: $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$ Vì $A$ và $B$ là các điểm cực trị của hàm số nên $y_1=f(x_1)$ và $y_2=f(x_2)$. Áp dụng định lý Viet, ta có: $y_2-y_1=f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1),$ trong đó $c$ là một số thực nằm giữa $x_1$ và $x_2$. Do đó, $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(f'(c)(x_2-x_1))^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2(1+f'(c)^2)}.$ Áp dụng định lý Viet, ta có: $(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=S^2-4P.$ Vậy $AB=\sqrt{(S^2-4P)(1+f'(c)^2)}.$ Tuy nhiên, công thức này khá phức tạp và không thể tính toán trực tiếp được. Trong trường hợp tổng quát, ta nên tìm các điểm cực trị và sử dụng công thức khoảng cách để tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị. Câu 5. Để đường thẳng $d:y=mx+1$ cắt đồ thị hàm số $(C):y=\frac{-2x+1}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm: $mx+1=\frac{-2x+1}{x-1}$ $\Leftrightarrow mx+1=\frac{-2x+1}{x-1}\cdot(x-1)$ $\Leftrightarrow mx+1=-2x+1$ $\Leftrightarrow mx+2x=0$ $\Leftrightarrow x(m+2)=0$ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $m+2\neq0$, tức là $m\neq-2$. Vậy với mọi $m\neq-2$ thì đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt. Vì $m$ thuộc đoạn $[-5;5]$ và $m\neq0$ nên các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $-5,-4,-3,-1,1,2,3,4,5$. Có tất cả 9 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6. Để hàm số nghịch biến trên $(-\infty;+\infty)$ thì đạo hàm của hàm số phải nhỏ hơn 0 với mọi $x$ thuộc $(-\infty;+\infty)$. Đạo hàm của hàm số là: $y' = -3x^2 - 2mx + 4m + 9$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;+\infty)$ khi và chỉ khi $y' \leq 0$ với mọi $x$ thuộc $(-\infty;+\infty)$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Phương trình $y' = 0$ là: $-3x^2 - 2mx + 4m + 9 = 0$. Điều kiện để phương trình này vô nghiệm hoặc có nghiệm kép là $\Delta \leq 0$. $\Delta = (2m)^2 - 4(-3)(4m + 9) = 4m^2 + 48m + 108$. $\Delta \leq 0 \Rightarrow 4m^2 + 48m + 108 \leq 0 \Rightarrow m^2 + 12m + 27 \leq 0$. Giải phương trình $m^2 + 12m + 27 = 0$ ta được $m = -3$ hoặc $m = -9$. Vậy $m^2 + 12m + 27 \leq 0$ khi và chỉ khi $-9 \leq m \leq -3$. Vì $m$ nguyên nên các giá trị nguyên của $m$ là $-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3$. Có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.