Cho đường tròn tâm O, đường kính ab bằng 2r. gọi d là trung điểm của đoạn thẳng oa, qua d kẻ dây cung mn vuông góc với oa. Gọi k là điểm tùy ý trên cung nhỏ bm (k không trùng với b và m), h là giao điểm của ak và mn
a) chứng minh tam giác oam đều và tính góc mba
b) chứng minh tam giác adh đồng dạng với tam giác akb và ah x ak = r^2
c) trên đoạn kn lầy lấy điểm i sao cho ki = km chứng minh góc nmi bằng góc kmb và ni = kb

Question

Cho đường tròn tâm O, đường kính ab bằng 2r. gọi d là trung điểm của đoạn thẳng oa, qua d kẻ dây cung mn vuông góc với oa. Gọi k là điểm tùy ý trên cung nhỏ bm (k không trùng với b và m), h là giao điểm của ak và mn 
   a) chứng minh tam giác oam đều và tính góc mba
   b) chứng minh tam giác adh đồng dạng với tam giác akb và ah x ak = r^2
 c) trên đoạn kn lầy lấy điểm i sao cho ki = km chứng minh góc nmi bằng góc kmb và ni = kb

Accepted Answer

a.Vì AB là đường kính của (O)

$\displaystyle \Longrightarrow $$\displaystyle AK\bot BK$

Mà $\displaystyle MN\bot AB$$\displaystyle \Longrightarrow $$\displaystyle \widehat{ACH} =\widehat{HKB} =90^{0}$

$\displaystyle \Longrightarrow $BCHK nội tiếp

b.Từ câu a ta có:

$\displaystyle \widehat{ACH} =\widehat{HBK} =\widehat{AKB}$

Mà$\displaystyle \ \widehat{HAC} =\widehat{KAB}$

$\displaystyle \Longrightarrow \Delta ACH\sim \Delta AKB$(g.g)

$\displaystyle \Longrightarrow \frac{AC}{AK} =\frac{AH}{AB}$

$\displaystyle \Longrightarrow $$\displaystyle AH.AK=AB.AC=\frac{1}{2} AO\cdot 2AO=AO^{2} =R^{2}$

c.Vì C là trung điểm AO,$\displaystyle MN\bot AO=C$

$\displaystyle \Longrightarrow $MN là trung trực của AO

$\displaystyle \Longrightarrow $MA=MO

Mà OA=OM$\displaystyle \Longrightarrow $\displaystyle MA=MO=AO=R$ \displaystyle \Longrightarrow $$\displaystyle \Delta $AMO đều

$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{MIK} =60^{0} \Longrightarrow \widehat{MIN} =180^{0} −60^{0} =120^{0}$

Do$\displaystyle \ AB\bot MN=C\Longrightarrow $A nằm chính giữa cung MN,AB là trung trực của MN

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow MON=2\widehat{MOA} =120^{0}\
\Longrightarrow \widehat{MKI} =\widehat{MKN} =\frac{1}{2}\widehat{MON} =60^{0}
\end{array}$

Do KM=KI$\displaystyle \Longrightarrow $ΔKMI đều

$\displaystyle \Longrightarrow $MI=MK

Do AB là trung trực của MN

$\displaystyle \Longrightarrow $BM=BN

Kết hợp$\displaystyle \ \widehat{MBN} =\frac{1}{2}\widehat{MON} =60^{0}$

$\displaystyle \Longrightarrow $$\displaystyle \Delta $BMN đều

$\displaystyle \Longrightarrow $BM=MN,$\displaystyle \widehat{NMB} =\widehat{IMK} =60^{0}$

$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{NMB} −\widehat{IMB} =\widehat{IMK} −\widehat{IMB}$

$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{NMI} =\widehat{BMK}$

$\displaystyle \Longrightarrow $$\displaystyle \Delta $MKB=$\displaystyle \Delta $MIN(c.g.c)

$\displaystyle \Longrightarrow $KB=NI

Cho đường tròn tâm O, đường kính ab bằng 2r. gọi d là trung điểm của đoạn thẳng oa, qua d kẻ dây cung mn vuông góc với oa. Gọi k là điểm tùy ý trên cung nhỏ bm (k không trùng với b và m), h là giao điể...