Câu 6:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số dựa trên đồ thị của hàm số bậc ba .
Bước 1: Xác định các điểm cực trị của hàm số từ đồ thị.
- Từ đồ thị, ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị: 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
Bước 2: Phân tích hàm số .
- Hàm số là hàm số hợp, trong đó hàm con là và hàm mẹ là .
- Để tìm điểm cực trị của , ta cần xem xét sự biến đổi của hàm con .
Bước 3: Xác định các giá trị của .
- Hàm con là một hàm bậc hai, có dạng parabol mở xuống, với đỉnh tại .
- Giá trị của tại đỉnh là .
- Hàm con đạt giá trị cực đại tại và giảm dần khi di chuyển ra xa điểm này.
Bước 4: Phân tích ảnh hưởng của hàm con lên hàm mẹ .
- Khi đạt giá trị cực đại , hàm số sẽ đạt cực trị tương ứng với giá trị .
- Do hàm con giảm dần khi di chuyển ra xa điểm , nên giá trị của sẽ phụ thuộc vào sự biến đổi của tại các điểm tương ứng.
Bước 5: Xác định số điểm cực trị của .
- Từ đồ thị của , ta thấy có 1 điểm cực tiểu. Khi đạt giá trị , hàm số sẽ đạt cực trị tương ứng với điểm cực tiểu của .
- Do hàm con đạt cực đại tại , và giảm dần khi di chuyển ra xa điểm này, nên sẽ có 1 điểm cực tiểu.
Kết luận: Số điểm cực tiểu của hàm số là 1.
Vậy đáp án đúng là A. 1.
Câu 7:
Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về đạo hàm và hệ phương trình.
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số .
Bước 2: Vì và là các điểm cực trị, nên đạo hàm tại các điểm này bằng 0.
Bước 3: Thay vào phương trình thứ hai.
Bước 4: Sử dụng thông tin về giá trị của hàm số tại các điểm cực trị.
Bước 5: Thay và vào phương trình.
Bước 6: Vậy hàm số đã cho là .
Bước 7: Tính giá trị của hàm số tại .
Kết luận: .
Câu 8:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về đạo hàm để tìm các giá trị của và .
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số .
Bước 2: Vì điểm là điểm cực trị của đồ thị hàm số, nên tại , đạo hàm phải bằng 0.
Bước 3: Thay và vào phương trình ban đầu để tìm .
Bước 4: Tính giá trị của .
Kết luận: Giá trị của là 1.
Câu 9:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm các điểm cực trị của hàm số và sau đó tính khoảng cách giữa chúng.
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.
Bước 2: Tìm các điểm cực trị.
Đặt :
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị.
Khi :
Khi :
Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị.
Hai điểm cực trị là và . Khoảng cách giữa hai điểm này là:
Kết luận: Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là . Do đó, đáp án đúng là B. .
Câu 10:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích đồ thị của đạo hàm và sử dụng nó để xác định điểm cực đại của hàm số .
Bước 1: Xác định đạo hàm của .
Bước 2: Tìm điểm cực đại của .
Điểm cực đại của xảy ra khi và (đạo hàm bậc hai âm).
Từ , ta có:
Bước 3: Phân tích đồ thị .
Từ đồ thị, ta thấy tại và . Tuy nhiên, để xác định điểm cực đại, ta cần kiểm tra đạo hàm bậc hai tại các điểm này.
Bước 4: Xác định dấu của .
Từ đồ thị , ta thấy:
- Tại , đạt cực đại, do đó .
- Tại , đạt cực tiểu, do đó .
Vì vậy, tại , nghĩa là đạt cực đại tại .
Kết luận: Điểm cực đại của hàm số là .
Câu 11:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tìm tọa độ của hai điểm cực trị A và B của hàm số .
2. Xác định phương trình đường thẳng AB.
3. Kiểm tra xem các điểm P, M, N, P có thuộc đường thẳng AB hay không.
Bước 1: Tìm tọa độ của hai điểm cực trị A và B.
Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số:
Đặt để tìm các điểm cực trị:
Vậy, hoặc .
Tính giá trị của hàm số tại và :
- Khi , .
- Khi , .
Vậy, hai điểm cực trị là và .
Bước 2: Xác định phương trình đường thẳng AB.
Phương trình đường thẳng qua hai điểm và là:
Thay và vào phương trình:
Vậy, phương trình đường thẳng AB là:
Bước 3: Kiểm tra xem các điểm P, M, N, P có thuộc đường thẳng AB hay không.
- Điểm : Thay vào phương trình , ta có . Vậy, không thuộc đường thẳng AB.
- Điểm : Thay vào phương trình , ta có . Vậy, không thuộc đường thẳng AB.
- Điểm : Thay vào phương trình , ta có . Vậy, thuộc đường thẳng AB.
- Điểm : Thay vào phương trình , ta có . Vậy, không thuộc đường thẳng AB.
Kết luận: Điểm thuộc đường thẳng AB.
Câu 12:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm hiểu về các điểm cực trị của hàm số . Điểm cực trị của hàm số được xác định thông qua đạo hàm của hàm số.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.
Bước 2: Để hàm số có ba điểm cực trị, đạo hàm phải có ba nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Bước 3: Xét phương trình . Để phương trình này có ba nghiệm phân biệt, ta cần xem xét hàm số và đường thẳng .
Bước 4: Tính đạo hàm của để tìm các điểm cực trị của .
Bước 5: Tính giá trị của tại các điểm cực trị.
Bước 6: Để phương trình có ba nghiệm phân biệt, phải nằm trong khoảng .
Bước 7: Tính giá trị số nguyên của trong khoảng này.
Vậy có thể nhận giá trị từ -22 đến 22, tổng cộng 45 giá trị nguyên.
Kết luận: Có 45 giá trị nguyên của tham số để hàm số có ba điểm cực trị.