Giải đúng giúp mình

Chúng ta sẽ giải từng bài tập theo yêu cầu: Bài 1: Cho tam giác ABC có $AB=3,5; AC=7,5; \widehat{A}=135^0$. Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Giải: - Sử dụng định lý cosin để tính BC: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A}) \] \[ BC^2 = 3,5^2 + 7,5^2 - 2 \cdot 3,5 \cdot 7,5 \cdot \cos(135^0) \] \[ BC^2 = 12,25 + 56,25 - 2 \cdot 3,5 \cdot 7,5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \] \[ BC^2 = 68,5 + 26,25\sqrt{2} \] \[ BC \approx 10,2 \] - Sử dụng công thức tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp: \[ R = \frac{a}{2\sin A} \] \[ R = \frac{BC}{2\sin 135^0} = \frac{10,2}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10,2}{\sqrt{2}} \approx 7,2 \] Kết luận: - Độ dài cạnh BC là 10,2. - Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác là 7,2. Bài 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=75^0, \widehat{C}=45^0$ và $AC=50$. Tính độ dài cạnh AB. Giải: - Tính góc A: \[ \widehat{A} = 180^0 - 75^0 - 45^0 = 60^0 \] - Sử dụng định lý sin: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \] \[ \frac{AB}{\sin 45^0} = \frac{50}{\sin 75^0} \] \[ AB = 50 \cdot \frac{\sin 45^0}{\sin 75^0} = 50 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 50 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \approx 36,6 \] Kết luận: - Độ dài cạnh AB là 36,6. Bài 3: Cho tam giác ABC có $AB=6, AC=7, BC=8$. Tính $\cos A$, $\sin A$ và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: - Sử dụng định lý cosin để tính $\cos A$: \[ \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] \[ \cos A = \frac{6^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 64}{84} = \frac{21}{84} = \frac{1}{4} \] - Tính $\sin A$: \[ \sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \] \[ \sin A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \] - Sử dụng công thức tính bán kính R: \[ R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{8}{2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{8 \cdot 4}{2\sqrt{15}} = \frac{16}{\sqrt{15}} = \frac{16\sqrt{15}}{15} \] Kết luận: - $\cos A = \frac{1}{4}$ - $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$ - Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác là $\frac{16\sqrt{15}}{15}$. Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay). a) $A = \cos 0^0 + \cos 49^0 + \cos 120^0 + \cos 140^0$ b) $B = \sin 5^0 + \sin 150^0 - \sin 175^0 + \sin 180^0$ c) $C = \cos 15^0 + \cos 35^0 - \sin 75^0 - \sin 55^0$ d) $D = \tan 25^0 \cdot \tan 45^0 \cdot \tan 115^0$ e) $E = \cot 10^0 \cdot \cot 30^0 \cdot \cot 100^0$ Giải: a) $A = 1 + \cos 49^0 - \frac{1}{2} - \cos 40^0 = \frac{1}{2} + \cos 49^0 - \cos 40^0$ b) $B = \sin 5^0 + \frac{1}{2} - \sin 5^0 + 0 = \frac{1}{2}$ c) $C = \cos 15^0 + \cos 35^0 - \cos 15^0 - \cos 35^0 = 0$ d) $D = \tan 25^0 \cdot 1 \cdot (-\tan 65^0) = -\tan 25^0 \cdot \tan 65^0 = -1$ e) $E = \cot 10^0 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\cot 10^0) = -\sqrt{3}$ Kết luận: - $A = \frac{1}{2} + \cos 49^0 - \cos 40^0$ - $B = \frac{1}{2}$ - $C = 0$ - $D = -1$ - $E = -\sqrt{3}$ Bài 5: Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) $A + B + C = 180^0$ b) $\tan\frac{B+C}{2} = \cot\frac{A}{2}$ Giải: a) Trong tam giác ABC, tổng các góc luôn bằng $180^0$: \[ A + B + C = 180^0 \] b) Sử dụng công thức: \[ \tan\frac{B+C}{2} = \tan\left(\frac{180^0 - A}{2}\right) = \cot\frac{A}{2} \] Kết luận: - a) $A + B + C = 180^0$ - b) $\tan\frac{B+C}{2} = \cot\frac{A}{2}$