cho hình thoi ABCD cạnh a góc a bằng 60 độ trên các cạnh AB,BC lần lượt lấy các điểm E,F sao cho BE+BF=a Chứng minh rằng đường trung trực của đoan thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi E,F thay đổi...

catiku5511

Giải chi tiết:

1. Vẽ hình:

• Vẽ hình thoi ABCD với góc A = 60 độ.
• Lấy các điểm E trên AB, F trên BC sao cho BE + BF = a.
• Vẽ đường trung trực của EF cắt AC tại điểm I.

2. Chứng minh:

• Ta sẽ chứng minh điểm I cố định.
• 
  
• Xét tam giác AEF:
• AE + AF = AB + BF - BE = a (vì BE + BF = a)
• Mà AB = a (cạnh hình thoi)
• Suy ra AE = AF
• Vậy tam giác AEF cân tại A.
• Do tam giác AEF cân tại A nên đường trung trực của EF cũng là đường cao hạ từ A xuống EF.
• Gọi H là giao điểm của AI và EF.
• Ta có: AH ⊥ EF tại H.
• Xét tam giác AHB và tam giác AHC:
• AH chung
• AB = AC (cạnh hình thoi)
• Góc BAH = góc CAH (do AI là phân giác góc A trong tam giác cân AEF)
• Suy ra ΔAHB = ΔAHC (c.g.c)
• Từ đó suy ra:
• HB = HC (hai cạnh tương ứng)
• Góc AHB = góc AHC = 90 độ.
• Vậy H là trung điểm của EF và AH ⊥ EF.
• 
  
• Kết luận:
• Điểm I luôn nằm trên đường thẳng AH (đường trung trực của EF) và AH cố định (vì là đường cao của tam giác cân ABC).
• Do đó, đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định là điểm I, giao điểm của đường cao AH và đường chéo AC của hình thoi ABCD.