Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f(x) = sinx (1+cosx) trên đoạn [0;π]

Để tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f(x) = sinx (1+cosx) trên đoạn [0;π], ta có thể sử dụng các tính chất của hàm số lượng giác và các bất đẳng thức lượng giác. Đầu tiên, ta có thể biến đổi hàm số f(x) như sau: f(x) = sinx (1+cosx) = sinx + sinx.cosx Sử dụng công thức sin2x = 2sinx.cosx, ta có: f(x) = sinx + 1/2 sin2x Bây giờ, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean) cho hai số không âm sinx và 1/2 sin2x: sqrt((sinx)(1/2 sin2x)) ≤ (sinx + 1/2 sin2x)/2 Hay là: sqrt(sinx.sin2x/2) ≤ f(x)/2 Do sinx ≤ 1 và sin2x ≤ 1, nên sinx.sin2x/2 ≤ 1/2, suy ra: f(x) ≤ 1 Vậy, giá trị lớn nhất M của f(x) trên đoạn [0;π] là 1. Để tìm giá trị nhỏ nhất m của f(x), ta cần tìm x sao cho f(x) đạt giá trị nhỏ nhất. Xét hàm số f(x) = sinx + 1/2 sin2x trên đoạn [0;π]. f'(x) = cosx + cos2x f'(x) = 0 khi cosx + cos2x = 0 cos2x = -cosx cos2x = cos(π - x) (do cos(-x) = cosx) 2x = π - x + k2π hoặc 2x = -π + x + k2π x = π/3 + k2π/3 hoặc x = π + k2π Trong đoạn [0;π], chỉ có x = π/3 là nghiệm. Tính f(π/3) = sin(π/3) + 1/2 sin(2π/3) = √3/2 + 1/2 √3/2 = 3√3/4 ≈ 1,299. Tính f(0) = sin0 + 1/2 sin0 = 0. Tính f(π) = sinπ + 1/2 sin2π = 0. So sánh các giá trị, ta thấy f(π/3) ≈ 1,299 là giá trị lớn nhất, còn f(0) = f(π) = 0 là giá trị nhỏ nhất. Vậy, giá trị nhỏ nhất m của f(x) trên đoạn [0;π] là 0.