giúp em với ạ Câu 10: Biết $\cot\alpha=-a,~a0.$ Tính $\cos\alpha$,$A.~\cos\alpha=\frac a{\sqrt{1+a^2}}.$ $B.~\cos\alpha=\frac1{\sqrt{1+a^2}}.$ $C.~\cos\alpha=-\frac1{\sqrt{1+a^2}}.$ $D.~\cos\alpha=-\frac a{\sqrt{1+a^2}}.$,Câu 11: Rút gọn biểu thức sau $A=\frac{\cot^2x-\cos^2x}{\cot^2x}+\frac{\sin x.\cos x}{\cot x}$,$A.~A=4.$ $B.~A=2.$ $C.~A=1.$ $D.~A=3.$,Câu 12 : Cho $\Delta ABC$ có $a=4,c=5,B=150^0.$ Diện tích của tam giác là:,$A.~5\sqrt3.$ B. 5. C. 10. $D.~10\sqrt3.$

Question

giúp em với ạ Câu 10: Biết $\cot\alpha=-a,~a>0.$ Tính $\cos\alpha$,$A.~\cos\alpha=\frac a{\sqrt{1+a^2}}.$ $B.~\cos\alpha=\frac1{\sqrt{1+a^2}}.$ $C.~\cos\alpha=-\frac1{\sqrt{1+a^2}}.$ $D.~\cos\alpha=-\frac a{\sqrt{1+a^2}}.$,Câu 11: Rút gọn biểu thức sau $A=\frac{\cot^2x-\cos^2x}{\cot^2x}+\frac{\sin x.\cos x}{\cot x}$,$A.~A=4.$ $B.~A=2.$ $C.~A=1.$ $D.~A=3.$,Câu 12 : Cho $\Delta ABC$ có $a=4,c=5,B=150^0.$ Diện tích của tam giác là:,$A.~5\sqrt3.$ B. 5. C. 10. $D.~10\sqrt3.$

Accepted Answer

Câu 10:
Ta biết rằng $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Biết $\cot \alpha = -a$, ta có:

$$
\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -a
$$

Từ đây, ta có:

$$
\cos \alpha = -a \sin \alpha
$$

Áp dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông, ta có:

$$
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
$$

Thay $\cos \alpha = -a \sin \alpha$ vào công thức trên:

$$
\sin^2 \alpha + (-a \sin \alpha)^2 = 1
$$

$$
\sin^2 \alpha + a^2 \sin^2 \alpha = 1
$$

$$
(1 + a^2) \sin^2 \alpha = 1
$$

$$
\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + a^2}
$$

Do đó:

$$
\sin \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}
$$

Vì $\cot \alpha = -a < 0$, góc $\alpha$ phải nằm trong khoảng $(90^\circ, 180^\circ)$ hoặc $(270^\circ, 360^\circ)$. Trong cả hai trường hợp này, $\sin \alpha$ là dương và $\cos \alpha$ là âm.

Do đó:

$$
\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}
$$

Và:

$$
\cos \alpha = -a \sin \alpha = -a \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}
$$

Vậy đáp án đúng là:

D. $\cos \alpha = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$.

Câu 11:
Để rút gọn biểu thức $ A = \frac{\cot^2 x - \cos^2 x}{\cot^2 x} + \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cot x} $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn từng phần của biểu thức.

Phần thứ nhất:
$$ \frac{\cot^2 x - \cos^2 x}{\cot^2 x} = \frac{\cot^2 x}{\cot^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cot^2 x} = 1 - \frac{\cos^2 x}{\cot^2 x} $$

Biết rằng $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, nên:
$$ \cot^2 x = \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^2 = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} $$
Do đó:
$$ \frac{\cos^2 x}{\cot^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}} = \sin^2 x $$

Vậy:
$$ 1 - \frac{\cos^2 x}{\cot^2 x} = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $$

Phần thứ hai:
$$ \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cot x} = \frac{\sin x \cdot \cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x \cdot \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin^2 x $$

Bước 2: Kết hợp các kết quả đã rút gọn lại:
$$ A = \cos^2 x + \sin^2 x $$

Theo công thức Pythagoras trong lượng giác:
$$ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $$

Vậy:
$$ A = 1 $$

Đáp án đúng là: C. $ A = 1 $.

Câu 12
Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen kẽ giữa chúng:

$$ S = \frac{1}{2}ac \sin B $$

Trong đó:
- $ a = 4 $
- $ c = 5 $
- $ B = 150^\circ $

Bước 1: Tính $\sin 150^\circ$:
$$ \sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $$

Bước 2: Thay các giá trị vào công thức diện tích:
$$ S = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2} $$
$$ S = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \times 10 = 5 $$

Vậy diện tích của tam giác là 5.

Đáp án đúng là: B. 5.