Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện phép nhân giữa đa thức \(2x\) và biểu thức \(y - 1\).
Bước 1: Nhân mỗi hạng tử trong biểu thức \(2x\) với mỗi hạng tử trong biểu thức \(y - 1\).
\[
2x \times (y - 1) = 2x \times y + 2x \times (-1)
\]
Bước 2: Thực hiện phép nhân từng hạng tử.
\[
2x \times y = 2xy
\]
\[
2x \times (-1) = -2x
\]
Bước 3: Kết hợp các kết quả từ bước 2 lại với nhau.
\[
2x(y - 1) = 2xy - 2x
\]
Vậy, kết quả cuối cùng là:
\[
2x(y - 1) = 2xy - 2x
\]
Bài 4:
1) \( x \cdot (x - 1) + (1 - x)^2 \)
Ta nhận thấy rằng \( (1 - x)^2 = (x - 1)^2 \), do đó ta có thể viết lại biểu thức như sau:
\[
x \cdot (x - 1) + (x - 1)^2
\]
Bây giờ, ta đặt nhân tử chung là \( (x - 1) \):
\[
(x - 1) \cdot (x + (x - 1)) = (x - 1) \cdot (2x - 1)
\]
2) \( (x + 1)^2 - 3(x + 1) \)
Ta nhận thấy rằng \( (x + 1) \) là nhân tử chung:
\[
(x + 1) \cdot ((x + 1) - 3) = (x + 1) \cdot (x - 2)
\]
3) \( 2x(x - 2) - (x - 2)^2 \)
Ta nhận thấy rằng \( (x - 2) \) là nhân tử chung:
\[
(x - 2) \cdot (2x - (x - 2)) = (x - 2) \cdot (2x - x + 2) = (x - 2) \cdot (x + 2)
\]
4) \( 3x(x - 1)^2 - (1 - x)^3 \)
Ta nhận thấy rằng \( (1 - x) = -(x - 1) \), do đó ta có thể viết lại biểu thức như sau:
\[
3x(x - 1)^2 - (-(x - 1))^3 = 3x(x - 1)^2 + (x - 1)^3
\]
Bây giờ, ta đặt nhân tử chung là \( (x - 1)^2 \):
\[
(x - 1)^2 \cdot (3x + (x - 1)) = (x - 1)^2 \cdot (4x - 1)
\]
5) \( 3x(x + 2) - 5(x + 2)^2 \)
Ta nhận thấy rằng \( (x + 2) \) là nhân tử chung:
\[
(x + 2) \cdot (3x - 5(x + 2)) = (x + 2) \cdot (3x - 5x - 10) = (x + 2) \cdot (-2x - 10) = -2(x + 2)(x + 5)
\]
6) \( 4x(x - y) + 3(y - x)^2 \)
Ta nhận thấy rằng \( (y - x) = -(x - y) \), do đó ta có thể viết lại biểu thức như sau:
\[
4x(x - y) + 3(-(x - y))^2 = 4x(x - y) + 3(x - y)^2
\]
Bây giờ, ta đặt nhân tử chung là \( (x - y) \):
\[
(x - y) \cdot (4x + 3(x - y)) = (x - y) \cdot (4x + 3x - 3y) = (x - y) \cdot (7x - 3y)
\]
Đáp số:
1) \( (x - 1) \cdot (2x - 1) \)
2) \( (x + 1) \cdot (x - 2) \)
3) \( (x - 2) \cdot (x + 2) \)
4) \( (x - 1)^2 \cdot (4x - 1) \)
5) \( -2(x + 2)(x + 5) \)
6) \( (x - y) \cdot (7x - 3y) \)
Bài 5:
1) \(2y(x + 2) - 3x - 6\)
Ta nhóm lại như sau:
\[2y(x + 2) - 3(x + 2)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x + 2\), ta đặt \(x + 2\) ra ngoài:
\[(x + 2)(2y - 3)\]
2) \(3(x + 4) - x^2 - 4x\)
Ta nhóm lại như sau:
\[3(x + 4) - x(x + 4)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x + 4\), ta đặt \(x + 4\) ra ngoài:
\[(x + 4)(3 - x)\]
3) \(2(x + 5) - x^2 - 5x\)
Ta nhóm lại như sau:
\[2(x + 5) - x(x + 5)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x + 5\), ta đặt \(x + 5\) ra ngoài:
\[(x + 5)(2 - x)\]
4) \(x^2 + 6x - 3(x + 6)\)
Ta nhóm lại như sau:
\[x(x + 6) - 3(x + 6)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x + 6\), ta đặt \(x + 6\) ra ngoài:
\[(x + 6)(x - 3)\]
5) \(x(x + y) - 5x - 5y\)
Ta nhóm lại như sau:
\[x(x + y) - 5(x + y)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x + y\), ta đặt \(x + y\) ra ngoài:
\[(x + y)(x - 5)\]
6) \(x(x - y) + 2x - 2y\)
Ta nhóm lại như sau:
\[x(x - y) + 2(x - y)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x - y\), ta đặt \(x - y\) ra ngoài:
\[(x - y)(x + 2)\]
7) \(2x - 6 + 5x(x - 3)\)
Ta nhóm lại như sau:
\[2(x - 3) + 5x(x - 3)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x - 3\), ta đặt \(x - 3\) ra ngoài:
\[(x - 3)(2 + 5x)\]
8) \(3x(x - 2) - 4x + 8\)
Ta nhóm lại như sau:
\[3x(x - 2) - 4(x - 2)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x - 2\), ta đặt \(x - 2\) ra ngoài:
\[(x - 2)(3x - 4)\]
9) \(x(x + y) - 3x - 3y\)
Ta nhóm lại như sau:
\[x(x + y) - 3(x + y)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x + y\), ta đặt \(x + y\) ra ngoài:
\[(x + y)(x - 3)\]
10) \(x(x + y) - 7x - 7y\)
Ta nhóm lại như sau:
\[x(x + y) - 7(x + y)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x + y\), ta đặt \(x + y\) ra ngoài:
\[(x + y)(x - 7)\]
11) \(x^2(x - y) + 2x - 2y\)
Ta nhóm lại như sau:
\[x^2(x - y) + 2(x - y)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x - y\), ta đặt \(x - y\) ra ngoài:
\[(x - y)(x^2 + 2)\]
12) \(x(x + 3y) - 5x - 15y\)
Ta nhóm lại như sau:
\[x(x + 3y) - 5(x + 3y)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x + 3y\), ta đặt \(x + 3y\) ra ngoài:
\[(x + 3y)(x - 5)\]
13) \(2x(x - 5) + 3x - 15\)
Ta nhóm lại như sau:
\[2x(x - 5) + 3(x - 5)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x - 5\), ta đặt \(x - 5\) ra ngoài:
\[(x - 5)(2x + 3)\]
14) \(x(x + y) + ax + ay\)
Ta nhóm lại như sau:
\[x(x + y) + a(x + y)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x + y\), ta đặt \(x + y\) ra ngoài:
\[(x + y)(x + a)\]
15) \(a(x + y) - 4x - 4y\)
Ta nhóm lại như sau:
\[a(x + y) - 4(x + y)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x + y\), ta đặt \(x + y\) ra ngoài:
\[(x + y)(a - 4)\]
16) \(a(x - y) + bx - by\)
Ta nhóm lại như sau:
\[a(x - y) + b(x - y)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x - y\), ta đặt \(x - y\) ra ngoài:
\[(x - y)(a + b)\]
17) \(xz + yz - 5(x + y)\)
Ta nhóm lại như sau:
\[z(x + y) - 5(x + y)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x + y\), ta đặt \(x + y\) ra ngoài:
\[(x + y)(z - 5)\]
18) \(5(x - y) + ax - ay\)
Ta nhóm lại như sau:
\[5(x - y) + a(x - y)\]
Nhận thấy cả hai hạng tử đều có chung thừa số \(x - y\), ta đặt \(x - y\) ra ngoài:
\[(x - y)(5 + a)\]
Bài 6:
1) \(x^2 + 3x - x - 3\)
= \(x(x + 3) - 1(x + 3)\)
= \((x + 3)(x - 1)\)
2) \(x^2 - xy + x - y\)
= \(x(x - y) + 1(x - y)\)
= \((x - y)(x + 1)\)
3) \(xy + y^2 - x - y\)
= \(y(x + y) - 1(x + y)\)
= \((x + y)(y - 1)\)
4) \(xy + y - 2x - 2\)
= \(y(x + 1) - 2(x + 1)\)
= \((x + 1)(y - 2)\)
5) \(x^3 - 2x^2 + x - 2\)
= \(x^2(x - 2) + 1(x - 2)\)
= \((x - 2)(x^2 + 1)\)
6) \(x^4 + x^3y - x - y\)
= \(x^3(x + y) - 1(x + y)\)
= \((x + y)(x^3 - 1)\)
7) \(x^2 + xy - xz - yz\)
= \(x(x + y) - z(x + y)\)
= \((x + y)(x - z)\)
8) \(xy + xz + 3y + 3z\)
= \(x(y + z) + 3(y + z)\)
= \((y + z)(x + 3)\)
9) \(x^2 - 3x + xy - 3y\)
= \(x(x - 3) + y(x - 3)\)
= \((x - 3)(x + y)\)
10) \(xy - 3x - y^2 + 3y\)
= \(x(y - 3) - y(y - 3)\)
= \((y - 3)(x - y)\)
11) \(x^2 + 2x - xy - 2y\)
= \(x(x + 2) - y(x + 2)\)
= \((x + 2)(x - y)\)
12) \(3x^2 - x - 3xy + y\)
= \(x(3x - 1) - y(3x - 1)\)
= \((3x - 1)(x - y)\)
13) \(x^2 + 5xy + x + 5y\)
= \(x(x + 5y) + 1(x + 5y)\)
= \((x + 5y)(x + 1)\)
14) \((x + 1)y - 2x - 2\)
= \(y(x + 1) - 2(x + 1)\)
= \((x + 1)(y - 2)\)
15) \(x^2 - 2xy + x - 2y\)
= \(x(x - 2y) + 1(x - 2y)\)
= \((x - 2y)(x + 1)\)
16) \(x^2 - 2x + 2y - xy\)
= \(x(x - 2) - y(x - 2)\)
= \((x - 2)(x - y)\)
17) \(x^2 + xy - 2x - 2y\)
= \(x(x + y) - 2(x + y)\)
= \((x + y)(x - 2)\)
18) \(x^2 - xy - 6x + 6y\)
= \(x(x - y) - 6(x - y)\)
= \((x - y)(x - 6)\)
19) \(2xy + 3z + 6y + xz\)
= \(2y(x + 3) + z(x + 3)\)
= \((x + 3)(2y + z)\)
20) \(3x^2 - 3xy - 5x + 5y\)
= \(3x(x - y) - 5(x - y)\)
= \((x - y)(3x - 5)\)
21) \(x^2 - 6x - 2xy + 12y\)
= \(x(x - 6) - 2y(x - 6)\)
= \((x - 6)(x - 2y)\)
22) \(x^2 + 3xy - 5x - 15y\)
= \(x(x + 3y) - 5(x + 3y)\)
= \((x + 3y)(x - 5)\)
23) \(3x^2 - 2x - 3xy + 2y\)
= \(x(3x - 2) - y(3x - 2)\)
= \((3x - 2)(x - y)\)
24) \(3x^2 - 3xy - 5x + 5y\)
= \(3x(x - y) - 5(x - y)\)
= \((x - y)(3x - 5)\)
25) \(x^3 + 6x^2 + x + 6\)
= \(x^2(x + 6) + 1(x + 6)\)
= \((x + 6)(x^2 + 1)\)
26) \(9x^3 - 9x^2y - 4x + 4y\)
= \(9x^2(x - y) - 4(x - y)\)
= \((x - y)(9x^2 - 4)\)
27) \(2x^2 - 6xy + 5x - 15y\)
= \(2x(x - 3y) + 5(x - 3y)\)
= \((x - 3y)(2x + 5)\)
28) \(x^2y - x^3 - 9y + 9x\)
= \(x^2(y - x) - 9(y - x)\)
= \((y - x)(x^2 - 9)\)
29) \(x^3 + 2x^2 - 4x - 8\)
= \(x^2(x + 2) - 4(x + 2)\)
= \((x + 2)(x^2 - 4)\)
30) \(5xy^2 - 5x + y^2 - 1\)
= \(5x(y^2 - 1) + 1(y^2 - 1)\)
= \((y^2 - 1)(5x + 1)\)
31) \(4x^3 - 4x^2 - 9x + 9\)
= \(4x^2(x - 1) - 9(x - 1)\)
= \((x - 1)(4x^2 - 9)\)
32) \(10ax - 5ay - 2x + y\)
= \(5a(2x - y) - 1(2x - y)\)
= \((2x - y)(5a - 1)\)
33) \(a^3 - a^2x - ay + xy\)
= \(a^2(a - x) - y(a - x)\)
= \((a - x)(a^2 - y)\)
34) \(x^2 + ab + ax + bx\)
= \(x(x + a) + b(x + a)\)
= \((x + a)(x + b)\)
35) \(ax - bx + ab - x^2\)
= \(x(a - b) + a(b - x)\)
= \((a - b)(x + a)\)
Đáp số:
1) \((x + 3)(x - 1)\)
2) \((x - y)(x + 1)\)
3) \((x + y)(y - 1)\)
4) \((x + 1)(y - 2)\)
5) \((x - 2)(x^2 + 1)\)
6) \((x + y)(x^3 - 1)\)
7) \((x + y)(x - z)\)
8) \((y + z)(x + 3)\)
9) \((x - 3)(x + y)\)
10) \((y - 3)(x - y)\)
11) \((x + 2)(x - y)\)
12) \((3x - 1)(x - y)\)
13) \((x + 5y)(x + 1)\)
14) \((x + 1)(y - 2)\)
15) \((x - 2y)(x + 1)\)
16) \((x - 2)(x - y)\)
17) \((x + y)(x - 2)\)
18) \((x - y)(x - 6)\)
19) \((x + 3)(2y + z)\)
20) \((x - y)(3x - 5)\)
21) \((x - 6)(x - 2y)\)
22) \((x + 3y)(x - 5)\)
23) \((3x - 2)(x - y)\)
24) \((x - y)(3x - 5)\)
25) \((x + 6)(x^2 + 1)\)
26) \((x - y)(9x^2 - 4)\)
27) \((x - 3y)(2x + 5)\)
28) \((y - x)(x^2 - 9)\)
29) \((x + 2)(x^2 - 4)\)
30) \((y^2 - 1)(5x + 1)\)
31) \((x - 1)(4x^2 - 9)\)
32) \((2x - y)(5a - 1)\)
33) \((a - x)(a^2 - y)\)
34) \((x + a)(x + b)\)
35) \((a - b)(x + a)\)
Bài 7:
1) \( ax^2 - 3axy + bx - 3by \)
Ta nhóm các hạng tử lại theo cặp:
\[ = (ax^2 - 3axy) + (bx - 3by) \]
Rút thừa số chung từ mỗi cặp:
\[ = ax(x - 3y) + b(x - 3y) \]
Nhận thấy \( (x - 3y) \) là thừa số chung:
\[ = (x - 3y)(ax + b) \]
2) \( 5x^2y + 5xy^2 - a^2x - a^2y \)
Ta nhóm các hạng tử lại theo cặp:
\[ = (5x^2y + 5xy^2) - (a^2x + a^2y) \]
Rút thừa số chung từ mỗi cặp:
\[ = 5xy(x + y) - a^2(x + y) \]
Nhận thấy \( (x + y) \) là thừa số chung:
\[ = (x + y)(5xy - a^2) \]
3) \( 2ax^3 + 6ax^2 + 6ax + 18a \)
Ta nhóm các hạng tử lại theo cặp:
\[ = (2ax^3 + 6ax^2) + (6ax + 18a) \]
Rút thừa số chung từ mỗi cặp:
\[ = 2ax^2(x + 3) + 6a(x + 3) \]
Nhận thấy \( (x + 3) \) là thừa số chung:
\[ = (x + 3)(2ax^2 + 6a) \]
4) \( 10xy^2 - 5by^2 + 2ax - ab \)
Ta nhóm các hạng tử lại theo cặp:
\[ = (10xy^2 - 5by^2) + (2ax - ab) \]
Rút thừa số chung từ mỗi cặp:
\[ = 5y^2(2x - b) + a(2x - b) \]
Nhận thấy \( (2x - b) \) là thừa số chung:
\[ = (2x - b)(5y^2 + a) \]
5) \( ax - bx + cx - 3a + 3b - 3c \)
Ta nhóm các hạng tử lại theo cặp:
\[ = (ax - bx + cx) - (3a - 3b + 3c) \]
Rút thừa số chung từ mỗi cặp:
\[ = x(a - b + c) - 3(a - b + c) \]
Nhận thấy \( (a - b + c) \) là thừa số chung:
\[ = (a - b + c)(x - 3) \]
6) \( 2ax - bx + 3cx - 2a + b - 3c \)
Ta nhóm các hạng tử lại theo cặp:
\[ = (2ax - bx + 3cx) - (2a - b + 3c) \]
Rút thừa số chung từ mỗi cặp:
\[ = x(2a - b + 3c) - (2a - b + 3c) \]
Nhận thấy \( (2a - b + 3c) \) là thừa số chung:
\[ = (2a - b + 3c)(x - 1) \]
7) \( ax - bx - 2cx - 2a + 2b + 4c \)
Ta nhóm các hạng tử lại theo cặp:
\[ = (ax - bx - 2cx) - (2a - 2b - 4c) \]
Rút thừa số chung từ mỗi cặp:
\[ = x(a - b - 2c) - 2(a - b - 2c) \]
Nhận thấy \( (a - b - 2c) \) là thừa số chung:
\[ = (a - b - 2c)(x - 2) \]
8) \( 3ax^2 + 3bx^2 + ax + bx + 5a + 5b \)
Ta nhóm các hạng tử lại theo cặp:
\[ = (3ax^2 + 3bx^2) + (ax + bx) + (5a + 5b) \]
Rút thừa số chung từ mỗi cặp:
\[ = 3x^2(a + b) + x(a + b) + 5(a + b) \]
Nhận thấy \( (a + b) \) là thừa số chung:
\[ = (a + b)(3x^2 + x + 5) \]
9) \( ax^2 - bx^2 - 2ax + 2bx - 3a + 3b \)
Ta nhóm các hạng tử lại theo cặp:
\[ = (ax^2 - bx^2) - (2ax - 2bx) - (3a - 3b) \]
Rút thừa số chung từ mỗi cặp:
\[ = x^2(a - b) - 2x(a - b) - 3(a - b) \]
Nhận thấy \( (a - b) \) là thừa số chung:
\[ = (a - b)(x^2 - 2x - 3) \]
Bài 8:
1) \( x^2 - 9 \)
Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), ta có:
\[ x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3) \]
2) \( 49 - x^2 \)
Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), ta có:
\[ 49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7 - x)(7 + x) \]
3) \( 4y^4 - 1 \)
Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), ta có:
\[ 4y^4 - 1 = (2y^2)^2 - 1^2 = (2y^2 - 1)(2y^2 + 1) \]
4) \( 4x^2 - 1 \)
Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), ta có:
\[ 4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1) \]
5) \( x^2 - 9y^2 \)
Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), ta có:
\[ x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y) \]
6) \( 25x^2 - 9 \)
Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), ta có:
\[ 25x^2 - 9 = (5x)^2 - 3^2 = (5x - 3)(5x + 3) \]
Đáp số:
1) \( (x - 3)(x + 3) \)
2) \( (7 - x)(7 + x) \)
3) \( (2y^2 - 1)(2y^2 + 1) \)
4) \( (2x - 1)(2x + 1) \)
5) \( (x - 3y)(x + 3y) \)
6) \( (5x - 3)(5x + 3) \)