Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC đường cao AH(H \in BC) Qua H kẻ HE vuông góc với AB(E \in AB) và kẻ HF vuông góc với AC(F \in AC) 110m a) Chứng minh rằng: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b) Lấy...

a) Chứng minh rằng: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật. - Ta có \( \angle EAH = 90^\circ \) (vì \( AH \perp BC \)). - \( \angle AEH = 90^\circ \) (vì \( HE \perp AB \)). - \( \angle AFH = 90^\circ \) (vì \( HF \perp AC \)). Từ đó, tứ giác \( AEHF \) có ba góc vuông, do đó nó là hình chữ nhật. b) Chứng minh rằng: \( CK \parallel AH \) - \( I \) là trung điểm của \( HC \), nên \( HI = IC \). - \( I \) cũng là trung điểm của \( AK \), nên \( AI = IK \). Do đó, \( \triangle AIH \) và \( \triangle CIK \) là các tam giác bằng nhau (cùng chung cạnh \( IH \) và \( IC \), và \( AI = IK \)). Điều này dẫn đến \( \angle AIH = \angle CIK \). Vì \( \angle AIH \) và \( \angle CIK \) là các góc so le trong, nên \( CK \parallel AH \). c) Chứng minh rằng: Tứ giác \( CFEK \) là hình thang cân - \( \angle CFH = 90^\circ \) (vì \( HF \perp AC \)). - \( \angle CEH = 90^\circ \) (vì \( HE \perp AB \)). Từ đó, \( \angle CFH = \angle CEH \), do đó \( CF \parallel KE \). - \( \angle FCE = \angle FKE \) (vì \( CK \parallel AH \) và \( \angle FCE = \angle FHE \)). Do đó, \( CFEK \) là hình thang cân. d) Chứng minh rằng: \( AK = 3AM \) - \( O \) là giao điểm của \( AH \) và \( EF \), do đó \( O \) là trung điểm của \( EF \) (vì \( AEHF \) là hình chữ nhật). - \( M \) là giao điểm của \( AK \) và \( CO \). Ta có \( \triangle AOM \sim \triangle COM \) (góc \( \angle AOM = \angle COM \) và \( \angle OMA = \angle OMC \)). Do đó, \( \frac{AO}{OC} = \frac{AM}{MC} \). Vì \( O \) là trung điểm của \( EF \), ta có \( AO = OC \). Do đó, \( AM = MC \). Vì \( I \) là trung điểm của \( AK \), ta có \( AI = IK \). Do đó, \( AK = 2AI \). Vì \( I \) là trung điểm của \( HC \), ta có \( HI = IC \). Do đó, \( HC = 2HI \). Vì \( O \) là trung điểm của \( EF \), ta có \( AO = OC \). Do đó, \( AK = 3AM \). Đáp số: \( AK = 3AM \).