helpppppppppp

Câu 8. Trước tiên, chúng ta sẽ tính độ dài cạnh \(BC\) bằng cách sử dụng Định lý Cosin trong tam giác \(ABC\). Theo Định lý Cosin: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{B}) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 13^2 = 8^2 + BC^2 - 2 \cdot 8 \cdot BC \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), ta có: \[ 169 = 64 + BC^2 - 2 \cdot 8 \cdot BC \cdot \frac{1}{2} \] \[ 169 = 64 + BC^2 - 8 \cdot BC \] \[ 169 = 64 + BC^2 - 8BC \] \[ BC^2 - 8BC + 64 - 169 = 0 \] \[ BC^2 - 8BC - 105 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ BC = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105)}}{2 \cdot 1} \] \[ BC = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 420}}{2} \] \[ BC = \frac{8 \pm \sqrt{484}}{2} \] \[ BC = \frac{8 \pm 22}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ BC = \frac{8 + 22}{2} = 15 \] \[ BC = \frac{8 - 22}{2} = -7 \] (loại vì độ dài cạnh không thể âm) Vậy \(BC = 15 \text{ cm}\). Tiếp theo, để tìm bán kính \(R\) của miếng bìa, ta sử dụng Định lý Sin trong tam giác \(ABC\): \[ \frac{BC}{\sin(\widehat{A})} = 2R \] Trước hết, ta cần tính góc \(\widehat{A}\) bằng Định lý Cosin: \[ \cos(\widehat{A}) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] \[ \cos(\widehat{A}) = \frac{8^2 + 13^2 - 15^2}{2 \cdot 8 \cdot 13} \] \[ \cos(\widehat{A}) = \frac{64 + 169 - 225}{208} \] \[ \cos(\widehat{A}) = \frac{8}{208} \] \[ \cos(\widehat{A}) = \frac{1}{26} \] Từ đó, ta tính \(\sin(\widehat{A})\) bằng công thức: \[ \sin^2(\widehat{A}) + \cos^2(\widehat{A}) = 1 \] \[ \sin^2(\widehat{A}) = 1 - \left(\frac{1}{26}\right)^2 \] \[ \sin^2(\widehat{A}) = 1 - \frac{1}{676} \] \[ \sin^2(\widehat{A}) = \frac{675}{676} \] \[ \sin(\widehat{A}) = \sqrt{\frac{675}{676}} \] \[ \sin(\widehat{A}) = \frac{\sqrt{675}}{26} \] Bây giờ, ta áp dụng Định lý Sin: \[ 2R = \frac{BC}{\sin(\widehat{A})} \] \[ 2R = \frac{15}{\frac{\sqrt{675}}{26}} \] \[ 2R = \frac{15 \cdot 26}{\sqrt{675}} \] \[ 2R = \frac{390}{\sqrt{675}} \] \[ 2R = \frac{390}{15\sqrt{3}} \] \[ 2R = \frac{26}{\sqrt{3}} \] \[ R = \frac{13}{\sqrt{3}} \] \[ R = \frac{13\sqrt{3}}{3} \approx 7.51 \text{ cm} \] Vậy độ dài cạnh \(BC\) là 15 cm và bán kính \(R\) của miếng bìa là khoảng 7.51 cm.