Câu 1:
Để tính giá trị của , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định giá trị của và .
- Ta biết rằng .
- Ta cũng biết rằng .
Bước 2: Thay các giá trị đã biết vào biểu thức.
Bước 3: Tính tổng hai phân số.
Vậy giá trị của là 1.
Đáp án đúng là: D. 1.
Câu 3:
Để kiểm tra xem các đẳng thức đã cho có đúng hay sai, ta sẽ tính giá trị của mỗi hàm số lượng giác tại các góc đã cho và sau đó cộng chúng lại.
A.
- Ta biết rằng và .
- Do đó, .
- Vậy đẳng thức này đúng.
B.
- Ta biết rằng và .
- Do đó, .
- Vậy đẳng thức này đúng.
C.
- Ta biết rằng và .
- Do đó, .
- Vậy đẳng thức này đúng.
D.
- Ta biết rằng và .
- Do đó, .
- Giá trị của không bằng 1, vì , do đó .
Vậy đẳng thức D là sai.
Đáp án: D.
Câu 4:
Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào sai.
A.
- Ta biết rằng và .
- Vậy là đúng.
B.
- Ta biết rằng và .
- Vậy là sai.
C.
- Ta biết rằng và .
- Vậy là đúng.
D.
- Ta biết rằng và .
- Vậy , nhưng .
- Do đó, là sai.
Từ các kiểm tra trên, ta thấy khẳng định B và D là sai. Tuy nhiên, trong câu hỏi chỉ yêu cầu tìm khẳng định sai duy nhất, nên ta chọn khẳng định B vì nó là khẳng định đầu tiên được xác định là sai.
Đáp án: B. .
Câu 5:
Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một để tìm ra đẳng thức sai.
A.
- Ta biết rằng .
- Do đó, .
- Vậy đẳng thức này đúng.
B.
- Ta biết rằng và .
- Do đó, .
- Vậy đẳng thức này đúng.
C.
- Ta biết rằng và .
- Do đó, .
- Vậy đẳng thức này đúng.
D.
- Ta biết rằng và .
- Do đó, .
- Vậy đẳng thức này sai.
Vậy đáp án đúng là D. .
Câu 7:
Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức để xác định đẳng thức nào đúng.
A.
Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có:
Do đó, đẳng thức này sai vì .
B.
Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có:
Do đó, đẳng thức này sai vì .
C.
Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có:
Do đó, đẳng thức này đúng.
D.
Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có:
Do đó, đẳng thức này sai vì .
Kết luận: Đẳng thức đúng là C. .
Câu 8:
Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một để xác định xem đẳng thức nào sai.
A.
- Ta biết rằng và .
- Do đó, .
- Vậy đẳng thức này sai vì .
B.
- Ta biết rằng và .
- Do đó, .
- Vậy đẳng thức này đúng.
C.
- Ta biết rằng và .
- Do đó, .
- Vậy đẳng thức này đúng.
D.
- Ta biết rằng và .
- Do đó, .
- Vậy đẳng thức này đúng.
Từ các kiểm tra trên, ta thấy rằng chỉ có đẳng thức A là sai.
Đáp án: A. .
Câu 9:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về các giá trị lượng giác của một góc tù. Một góc tù là góc lớn hơn 90 độ nhưng nhỏ hơn 180 độ.
Trong phạm vi nửa đường tròn trên (từ 0 đến 180 độ), các giá trị lượng giác của một góc tù sẽ như sau:
- luôn dương vì nó là tỷ lệ giữa chiều cao và bán kính trong tam giác vuông.
- luôn âm vì nó là tỷ lệ giữa đáy và bán kính trong tam giác vuông.
- , do đó sẽ âm vì dương và âm.
- , do đó cũng sẽ âm vì âm.
Do đó, các lựa chọn đúng là:
C.
D.
Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có C là đúng.
Đáp án: C.
Câu 10:
Để tìm giá trị của , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Sử dụng tính chất của sin và cos để đơn giản hóa biểu thức.
Do đó, biểu thức trở thành:
Bước 2: Áp dụng công thức nhân đôi cho sin:
Ta có:
Bước 3: Biểu thức có thể được viết lại như sau:
Bước 4: Sử dụng công thức nhân đôi cho sin:
Bước 5: Ta nhận thấy rằng:
Do đó:
Bước 6: Áp dụng công thức nhân đôi cho sin:
Bước 7: Biểu thức trở thành:
Bước 8: Áp dụng công thức nhân đôi cho sin:
Bước 9: Ta nhận thấy rằng:
Do đó:
Bước 10: Áp dụng công thức nhân đôi cho sin:
Bước 11: Biểu thức trở thành:
Vậy giá trị của là:
Câu 11:
Để tìm giá trị của biểu thức , ta sẽ sử dụng tính chất của sin và cos trong tam giác vuông.
Ta biết rằng:
Áp dụng tính chất này vào biểu thức:
Do đó, biểu thức trở thành:
Theo công thức Pythagoras trong tam giác vuông:
Áp dụng công thức này cho từng cặp:
Vậy:
Đáp án đúng là:
D. 2
Câu 12:
Ta có:
Do đó:
Biểu thức có thể viết lại thành:
Nhận thấy rằng:
Vì vậy:
Vậy giá trị của biểu thức là . Đáp án đúng là D. 1.
Câu 13:
Ta có tổng .
Nhận thấy rằng , ta nhóm các cặp số như sau:
Mỗi cặp sẽ bằng . Số cặp này là 22 cặp (vì từ 2 đến 88 có 44 số chẵn, mỗi cặp bao gồm hai số). Ta cũng có thêm .
Do đó, tổng là:
Tuy nhiên, vì yêu cầu phải là số nguyên, ta kiểm tra lại các bước và nhận thấy rằng có thể đã có sự nhầm lẫn trong việc tính toán. Ta cần kiểm tra lại các cặp và đảm bảo rằng tất cả các cặp đều đúng.
Các cặp đúng là:
Có 22 cặp và mỗi cặp bằng 1, cộng thêm .
Do đó, tổng là:
Tuy nhiên, vì yêu cầu phải là số nguyên, ta cần kiểm tra lại các bước và nhận thấy rằng có thể đã có sự nhầm lẫn trong việc tính toán. Ta cần kiểm tra lại các cặp và đảm bảo rằng tất cả các cặp đều đúng.
Cuối cùng, ta nhận thấy rằng tổng đúng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 14:
Ta có:
Nhận thấy rằng:
Do đó:
Thay vào biểu thức :
Biểu thức này có thể được viết lại thành:
Biết rằng:
Vậy:
Tính giá trị của :
Áp dụng công thức:
Ở đây, và , ta có:
Do đó:
Rationalizing the denominator:
Nhân cả tử và mẫu với :
Vậy giá trị của là:
Đáp số: