Câu 12.
Để tìm tập xác định của hàm số , chúng ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng không vì chia cho số 0 là vô nghĩa.
Bước 1: Xác định điều kiện mẫu số không bằng không:
Bước 2: Giải bất phương trình:
Bước 3: Kết luận tập xác định của hàm số:
Tập xác định của hàm số là tất cả các số thực ngoại trừ .
Do đó, tập xác định của hàm số là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 13.
Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các phương án đã cho, ta sẽ kiểm tra các điểm đặc biệt trên đồ thị và so sánh với các phương án.
Trước hết, ta nhận thấy rằng đồ thị đi qua điểm . Ta sẽ thay vào các phương án để kiểm tra giá trị của :
- Với phương án A:
Thay :
Điểm không trùng với điểm trên đồ thị.
- Với phương án B:
Thay :
Điểm trùng với điểm trên đồ thị.
- Với phương án C:
Thay :
Điểm trùng với điểm trên đồ thị.
- Với phương án D:
Thay :
Điểm không trùng với điểm trên đồ thị.
Như vậy, cả hai phương án B và C đều thỏa mãn điều kiện đi qua điểm . Để xác định chính xác hơn, ta sẽ kiểm tra thêm các điểm khác trên đồ thị.
Ta nhận thấy rằng đồ thị có đỉnh ở điểm . Ta sẽ kiểm tra các phương án tại điểm này:
- Với phương án B:
Thay :
Điểm không trùng với điểm trên đồ thị.
- Với phương án C:
Thay :
Điểm không trùng với điểm trên đồ thị.
Do đó, phương án duy nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện là phương án B.
Đáp án: .
Câu 14.
Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình thoi ABCD, các cạnh AB và AD có độ dài bằng nhau và góc BAD là 60°. Ta cần tính độ dài của véc-tơ tổng .
Ta sử dụng công thức tính độ dài véc-tơ tổng:
Vì AB và AD đều có độ dài là a và góc BAD là 60°, nên ta có:
Thay các giá trị này vào công thức:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 15.
Để tính xác suất để một học sinh bốc được đúng 1 câu hỏi Hình học, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm tổng số cách chọn 3 câu hỏi từ 15 câu hỏi:
Số cách chọn 3 câu hỏi từ 15 câu hỏi là:
2. Tìm số cách chọn đúng 1 câu hỏi Hình học và 2 câu hỏi Đại số:
- Số cách chọn 1 câu hỏi Hình học từ 5 câu hỏi Hình học là:
- Số cách chọn 2 câu hỏi Đại số từ 10 câu hỏi Đại số là:
- Vậy số cách chọn đúng 1 câu hỏi Hình học và 2 câu hỏi Đại số là:
3. Tính xác suất:
Xác suất để một học sinh bốc được đúng 1 câu hỏi Hình học là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 16.
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số tam giác có thể tạo thành từ 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Bước 1: Xác định số điểm và điều kiện
- Tập hợp P có 10 điểm phân biệt.
- Không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Bước 2: Xác định số tam giác
- Để tạo thành một tam giác, ta cần chọn 3 điểm bất kỳ từ tập hợp 10 điểm.
- Số cách chọn 3 điểm từ 10 điểm là tổ hợp chập 3 của 10, ký hiệu là .
Bước 3: Tính toán
- Công thức tính tổ hợp chập 3 của 10 là:
Vậy số tam giác có 3 điểm đều thuộc P là .
Đáp án đúng là: .
Câu 1.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án một.
a) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến
Phương trình tổng quát của đường thẳng là . Từ đây, ta thấy rằng vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là . Do đó, phương án a) sai.
b) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là
Phương trình tham số của đường thẳng là . Từ đây, ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng này là . Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là . Do đó, phương án b) đúng.
c) Phương trình tham số của đường thẳng là
Phương trình tổng quát của đường thẳng là . Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng . Từ đây, ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng này là . Do đó, phương trình tham số của đường thẳng này có thể là hoặc tùy thuộc vào điểm gốc chọn. Do đó, phương án c) đúng.
d) Phương trình tổng quát của đường thẳng là
Phương trình tham số của đường thẳng là . Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng và . Bằng cách đặt hai biểu thức này bằng nhau, ta có:
Nhân cả hai vế với 3, ta có:
Mở ngoặc và sắp xếp lại, ta có:
Do đó, phương án d) đúng.
Kết luận: Các phương án đúng là b), c) và d).
Câu 2.
Hàm số đã cho là . Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một:
a) Đồ thị của hàm số có đỉnh
- Hàm số là một hàm bậc hai có dạng , trong đó , , và .
- Đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai có tọa độ là .
- Với và , ta có:
Thay vào hàm số:
Vậy đỉnh của đồ thị là . Phát biểu này đúng.
b) Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là đường thẳng
- Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai là đường thẳng .
- Với và , ta có:
Vậy trục đối xứng là đường thẳng . Phát biểu này sai.
c) Đồ thị của hàm số cắt trục Oy tại điểm
- Điểm giao của đồ thị với trục Oy là điểm có hoành độ .
- Thay vào hàm số:
Vậy điểm giao với trục Oy là . Phát biểu này đúng.
d) Đồ thị như Hình
- Đồ thị của hàm số là một parabol mở xuống với đỉnh ở và trục đối xứng là đường thẳng .
- Kiểm tra hình vẽ, nếu hình vẽ đúng như mô tả trên thì phát biểu này đúng.
Kết luận:
- Phát biểu a) đúng.
- Phát biểu b) sai.
- Phát biểu c) đúng.
- Phát biểu d) đúng nếu hình vẽ đúng như mô tả.
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng (nếu hình vẽ đúng).