Cho là góc tù và tan a + cot a = -2. Tính giá trị của biểu thức M= √2/4 (sin a-cos a)

Question

Accepted Answer

Để tính giá trị của biểu thức $ M = \frac{\sqrt{2}}{4} (\sin a - \cos a) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giá trị của $\sin a$ và $\cos a$

Ta biết rằng:
   $$
   \tan a + \cot a = -2
   $$
   Biết rằng $\cot a = \frac{1}{\tan a}$, ta có:
   $$
   \tan a + \frac{1}{\tan a} = -2
   $$

Đặt $ t = \tan a $, ta có phương trình:
   $$
   t + \frac{1}{t} = -2
   $$

Nhân cả hai vế với $ t $:
   $$
   t^2 + 1 = -2t
   $$

Chuyển tất cả về một vế:
   $$
   t^2 + 2t + 1 = 0
   $$

Đây là phương trình bậc hai hoàn chỉnh, ta giải nó:
   $$
   (t + 1)^2 = 0
   $$

Suy ra:
   $$
   t = -1
   $$

Vậy $\tan a = -1$. Do $a$ là góc tù, suy ra:
   $$
   \sin a = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos a = -\frac{\sqrt{2}}{2}
   $$

2. Thay giá trị của $\sin a$ và $\cos a$ vào biểu thức $M$

Ta có:
   $$
   M = \frac{\sqrt{2}}{4} (\sin a - \cos a)
   $$

Thay $\sin a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\cos a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
   $$
   M = \frac{\sqrt{2}}{4} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right)
   $$

Rút gọn biểu thức trong ngoặc:
   $$
   M = \frac{\sqrt{2}}{4} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
   $$
   $$
   M = \frac{\sqrt{2}}{4} \left( \frac{2\sqrt{2}}{2} \right)
   $$
   $$
   M = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{2}
   $$
   $$
   M = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{4}
   $$
   $$
   M = \frac{2}{4}
   $$
   $$
   M = \frac{1}{2}
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $ M $ là:
$$
M = \frac{1}{2}
$$