Help me...

Câu 27: Để kiểm tra các khẳng định, ta sẽ xét từng trường hợp một. A. Dãy số có \( u_{n+1} = a \cdot 3^{n+1} \). Ta thấy rằng nếu \( u_n = a \cdot 3^n \), thì \( u_{n+1} = a \cdot 3^{n+1} \). Do đó, khẳng định này đúng. B. Hiệu số \( u_{n+1} - u_n = 3a \). Ta tính hiệu số: \[ u_{n+1} - u_n = a \cdot 3^{n+1} - a \cdot 3^n = a \cdot 3^n \cdot 3 - a \cdot 3^n = a \cdot 3^n (3 - 1) = a \cdot 3^n \cdot 2 = 2a \cdot 3^n \] Như vậy, \( u_{n+1} - u_n = 2a \cdot 3^n \), không phải là \( 3a \). Do đó, khẳng định này sai. C. Với \( a > 0 \) thì dãy số tăng. Ta đã biết \( u_{n+1} - u_n = 2a \cdot 3^n \). Nếu \( a > 0 \), thì \( 2a \cdot 3^n > 0 \) vì \( 3^n > 0 \) cho mọi \( n \). Do đó, \( u_{n+1} > u_n \), tức là dãy số tăng. Khẳng định này đúng. D. Với \( a < 0 \) thì dãy số giảm. Ta cũng đã biết \( u_{n+1} - u_n = 2a \cdot 3^n \). Nếu \( a < 0 \), thì \( 2a \cdot 3^n < 0 \) vì \( 3^n > 0 \) cho mọi \( n \). Do đó, \( u_{n+1} < u_n \), tức là dãy số giảm. Khẳng định này đúng. Tóm lại, khẳng định sai là: B. Hiệu số \( u_{n+1} - u_n = 3a \). Đáp án: B. Câu 28: Ta xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n - 1$. Để xác định tính chất của dãy số này, ta sẽ so sánh $u_{n+1}$ với $u_n$. Ta có: \[ u_{n+1} = 2(n+1) - 1 = 2n + 2 - 1 = 2n + 1 \] Bây giờ, ta so sánh $u_{n+1}$ với $u_n$: \[ u_{n+1} - u_n = (2n + 1) - (2n - 1) = 2n + 1 - 2n + 1 = 2 \] Như vậy, $u_{n+1} - u_n = 2 > 0$, tức là $u_{n+1} > u_n$. Do đó, dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng. Vậy đáp án đúng là: D. Tăng. Câu 29: Công thức tổng quát của số hạng thứ n trong một cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n - 1)d \] Trong đó: - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( d \) là công sai, - \( n \) là chỉ số của số hạng. Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ u_n = 3 + (n - 1) \times 7 \] \[ u_n = 3 + 7n - 7 \] \[ u_n = 7n - 4 \] Ta cần tìm số hạng thứ n sao cho \( u_n > 2018 \): \[ 7n - 4 > 2018 \] \[ 7n > 2022 \] \[ n > \frac{2022}{7} \] \[ n > 288.857 \] Vì n phải là số nguyên, nên ta chọn số nguyên nhỏ nhất lớn hơn 288.857, đó là 289. Vậy kể từ số hạng thứ 289 trở đi thì các số hạng của \((u_n)\) đều lớn hơn 2018. Đáp án đúng là: B. 289 Câu 30: Ta có: $u_9 = u_1 + 8d$ $u_2 = u_1 + d$ Theo đề bài ta có: $u_9 = 5u_2$ $u_1 + 8d = 5(u_1 + d)$ $u_1 + 8d = 5u_1 + 5d$ $4u_1 = 3d$ (1) Tương tự: $u_{13} = u_1 + 12d$ $u_6 = u_1 + 5d$ Theo đề bài ta có: $u_{13} = 2u_6 + 5$ $u_1 + 12d = 2(u_1 + 5d) + 5$ $u_1 + 12d = 2u_1 + 10d + 5$ $u_1 = 2d - 5$ (2) Thay (2) vào (1): $4(2d - 5) = 3d$ $8d - 20 = 3d$ $5d = 20$ $d = 4$ Thay $d = 4$ vào (2): $u_1 = 2 \times 4 - 5$ $u_1 = 3$ Vậy đáp án đúng là A. $u_1 = 3$ và $d = 4$. Câu 31: Để tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_n)$, ta cần biết số hạng đầu tiên $u_1$ và công sai $d$. Ta sẽ tìm $u_1$ và $d$ từ hai số hạng đã cho: $u_4 = -12$ và $u_{14} = 18$. Công thức của số hạng thứ $n$ trong cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng công thức này cho $u_4$ và $u_{14}$, ta có: \[ u_4 = u_1 + 3d = -12 \] \[ u_{14} = u_1 + 13d = 18 \] Ta có hệ phương trình: \[ u_1 + 3d = -12 \quad \text{(1)} \] \[ u_1 + 13d = 18 \quad \text{(2)} \] Trừ phương trình (1) từ phương trình (2): \[ (u_1 + 13d) - (u_1 + 3d) = 18 - (-12) \] \[ 10d = 30 \] \[ d = 3 \] Thay $d = 3$ vào phương trình (1): \[ u_1 + 3(3) = -12 \] \[ u_1 + 9 = -12 \] \[ u_1 = -21 \] Bây giờ, ta đã biết $u_1 = -21$ và $d = 3$. Để tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng, ta sử dụng công thức tổng của cấp số cộng: \[ S_n = \frac{n}{2} (2u_1 + (n-1)d) \] Áp dụng công thức này cho $n = 16$, $u_1 = -21$, và $d = 3$: \[ S_{16} = \frac{16}{2} (2(-21) + (16-1)3) \] \[ S_{16} = 8 ( -42 + 15 \times 3 ) \] \[ S_{16} = 8 ( -42 + 45 ) \] \[ S_{16} = 8 \times 3 \] \[ S_{16} = 24 \] Vậy đáp án đúng là: D. $S_{16} = 24$. Câu 32: Ta có $4S_n=S_{2n}\Rightarrow 4(u_1+u_2+...+u_n)=u_1+u_2+...+u_{2n}$ $\Rightarrow u_1+u_2+...+u_n=u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{2n}$ $\Rightarrow S_n=S_{2n}-S_n\Rightarrow 2S_n=S_{2n}$ $\Rightarrow 2\times \frac{2n(u_1+u_n)}{2}=\frac{2n(u_1+u_{2n})}{2}$ $\Rightarrow u_1+u_n=u_1+u_{2n}\Rightarrow u_n=u_{2n}$ $\Rightarrow u_1+(n-1)d=u_1+(2n-1)d\Rightarrow (n-1)d=(2n-1)d$ $\Rightarrow d(n-1)=d(2n-1)\Rightarrow d(n-1-2n+1)=0$ $\Rightarrow d(-n)=0\Rightarrow d=0$ hoặc $n=0$ (loại) Vậy $d=0$. Thay vào ta có $u_5=18\Rightarrow u_1=18$ Chọn đáp án A Câu 33: Gọi bốn số tạo thành cấp số cộng là a - 3d, a - d, a + d, a + 3d Theo đề bài ta có: (a - 3d) + (a - d) + (a + d) + (a + 3d) = 28 => 4a = 28 => a = 7 và (a - 3d)² + (a - d)² + (a + d)² + (a + 3d)² = 276 => 4a² + 20d² = 276 => 4 × 7² + 20d² = 276 => 196 + 20d² = 276 => 20d² = 80 => d² = 4 => d = 2 hoặc d = -2 Vậy bốn số đó là 1, 5, 9, 13 Tích của bốn số đó là 1 × 5 × 9 × 13 = 585 Đáp án đúng là: A Câu 34: Dãy số $u_n$ được cho bởi: \[ \left\{\begin{array}lu_1=3\\u_{n+1}=3u_n\end{array}\right.,~\forall n\in\mathbb N^. \] Ta thấy đây là dãy số hình học với số hạng đầu tiên $u_1 = 3$ và công bội $q = 3$. Công thức tổng quát của số hạng thứ $n$ trong dãy số hình học là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1}. \] Áp dụng vào dãy số này: \[ u_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^1 \cdot 3^{n-1} = 3^{1 + (n-1)} = 3^n. \] Vậy số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là: \[ u_n = 3^n. \] Đáp án đúng là: A. $u_n = 3^n$.