giúp mình với

Câu 1. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 30x \) trên đoạn \([2; 19]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 30x) = 3x^2 - 30 \] 2. Tìm các điểm cực trị trong khoảng \((2, 19)\): \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 30 = 0 \] \[ 3x^2 = 30 \] \[ x^2 = 10 \] \[ x = \sqrt{10} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{10} \] Trong khoảng \((2, 19)\), chỉ có \( x = \sqrt{10} \) là thỏa mãn. 3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ f(2) = 2^3 - 30 \cdot 2 = 8 - 60 = -52 \] \[ f(\sqrt{10}) = (\sqrt{10})^3 - 30 \cdot \sqrt{10} = 10\sqrt{10} - 30\sqrt{10} = -20\sqrt{10} \approx -63.246 \] \[ f(19) = 19^3 - 30 \cdot 19 = 6859 - 570 = 6289 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ f(2) = -52 \] \[ f(\sqrt{10}) \approx -63.246 \] \[ f(19) = 6289 \] Như vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 30x \) trên đoạn \([2; 19]\) là \( f(\sqrt{10}) \approx -63.246 \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 30x \) trên đoạn \([2; 19]\) là \(-63.2\) (làm tròn đến hàng phần chục). Câu 2. Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 9 giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t \) là đạo hàm của quãng đường \( s \) theo thời gian \( t \). Ta có: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = -t^2 + 12t \] 2. Tìm cực đại của vận tốc: Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( v(t) = -t^2 + 12t \). Ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = -2t + 12 \] Đặt \( v'(t) = 0 \) để tìm điểm cực trị: \[ -2t + 12 = 0 \] \[ t = 6 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ v''(t) = -2 \] Vì \( v''(t) < 0 \), nên \( t = 6 \) là điểm cực đại. 4. Tính vận tốc tại thời điểm \( t = 6 \): \[ v(6) = -(6)^2 + 12 \cdot 6 = -36 + 72 = 36 \text{ m/s} \] 5. Kiểm tra biên của khoảng thời gian: Ta cũng cần kiểm tra vận tốc tại các biên của khoảng thời gian 0 đến 9 giây: \[ v(0) = -(0)^2 + 12 \cdot 0 = 0 \text{ m/s} \] \[ v(9) = -(9)^2 + 12 \cdot 9 = -81 + 108 = 27 \text{ m/s} \] So sánh các giá trị: - \( v(0) = 0 \text{ m/s} \) - \( v(6) = 36 \text{ m/s} \) - \( v(9) = 27 \text{ m/s} \) Như vậy, vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 9 giây là 36 m/s. Đáp số: Vận tốc lớn nhất của vật là 36 m/s. Câu 3. Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \frac{1}{2}x - \sqrt{x + 2} \) trên đoạn \([-1; 34]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x - \sqrt{x + 2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} \] 2. Tìm điểm cực trị: \[ y' = 0 \] \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} = 0 \] \[ \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} \] \[ 1 = \frac{1}{\sqrt{x + 2}} \] \[ \sqrt{x + 2} = 1 \] \[ x + 2 = 1 \] \[ x = -1 \] 3. Kiểm tra các giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = \frac{1}{2}(-1) - \sqrt{-1 + 2} = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} \] - Tại \( x = 34 \): \[ y(34) = \frac{1}{2}(34) - \sqrt{34 + 2} = 17 - \sqrt{36} = 17 - 6 = 11 \] - Tại \( x = -1 \) (điểm cực trị): \[ y(-1) = -\frac{3}{2} \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất: - Giá trị tại \( x = -1 \): \( y = -\frac{3}{2} \) - Giá trị tại \( x = 34 \): \( y = 11 \) Do đó, giá trị nhỏ nhất \( m = -\frac{3}{2} \) và giá trị lớn nhất \( M = 11 \). 5. Tính tổng \( S = 3m + M \): \[ S = 3 \left(-\frac{3}{2}\right) + 11 = -\frac{9}{2} + 11 = -\frac{9}{2} + \frac{22}{2} = \frac{13}{2} \] Vậy, tổng \( S = \frac{13}{2} \). Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2): - Hàm số $y = (x + m)^3 - 3(x + m) + 1 + n$. - Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3(x + m)^2 - 3 \] - Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2), đạo hàm phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên khoảng đó: \[ 3(x + m)^2 - 3 \leq 0 \implies (x + m)^2 \leq 1 \implies -1 \leq x + m \leq 1 \] - Thay $x = 0$ và $x = 2$ vào điều kiện trên: \[ -1 \leq m \leq 1 \quad \text{và} \quad -1 \leq 2 + m \leq 1 \implies -3 \leq m \leq -1 \] - Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: \[ m = -1 \] 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1;1]: - Thay $m = -1$ vào hàm số: \[ y = (x - 1)^3 - 3(x - 1) + 1 + n \] - Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1;1]. Ta tính đạo hàm: \[ y' = 3(x - 1)^2 - 3 \] - Đặt $y' = 0$ để tìm điểm cực trị: \[ 3(x - 1)^2 - 3 = 0 \implies (x - 1)^2 = 1 \implies x - 1 = \pm 1 \implies x = 2 \text{ (loại)} \quad \text{hoặc} \quad x = 0 \] - Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ y(-1) = (-1 - 1)^3 - 3(-1 - 1) + 1 + n = -8 + 6 + 1 + n = -1 + n \] \[ y(0) = (0 - 1)^3 - 3(0 - 1) + 1 + n = -1 + 3 + 1 + n = 3 + n \] \[ y(1) = (1 - 1)^3 - 3(1 - 1) + 1 + n = 1 + n \] - Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1;1] là 4: \[ 3 + n = 4 \implies n = 1 \] 3. Tính $m + n$: \[ m + n = -1 + 1 = 0 \] Vậy, $m + n = 0$. Câu 5. Gọi số tiền giảm là $4000 \times k$ (k > 0) Khi đó số vải bán được là $25 + 50 \times k$ Giá bán mới là $50 - 4 \times k$ Lợi nhuận thu được là: $(50 - 4 \times k - 30) \times (25 + 50 \times k)$ $= (20 - 4 \times k) \times (25 + 50 \times k)$ $= 500 + 700 \times k - 200 \times k^2$ Để lợi nhuận lớn nhất thì $-200 \times k^2 + 700 \times k + 500$ phải lớn nhất Tức là $k^2 - 3,5 \times k - 2,5$ nhỏ nhất Ta có: $k^2 - 3,5 \times k - 2,5 = (k - 1,75)^2 - 5,0625$ Nhỏ nhất khi $k = 1,75$ Vậy giá bán để thu được lợi nhuận lớn nhất là: $50 - 4 \times 1,75 = 42$ (nghìn đồng) Đáp số: 42 nghìn đồng Câu 6. Để tính tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng, ta làm như sau: 1. Tổng số xăng mà hai tài xế nhận được trong một tháng là: \[ 32 + 72 = 104 \text{ lít} \] 2. Mỗi ngày, tổng số xăng mà hai tài xế sử dụng là 10 lít. 3. Số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng là: \[ \frac{104}{10} = 10.4 \text{ ngày} \] Vì số ngày phải là số nguyên, nên ta làm tròn lên đến số ngày gần nhất, tức là 11 ngày. Vậy tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng là 11 ngày. Đáp số: 11 ngày. Câu 7. Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài là $2x$ (m), chiều cao là $h$ (m). Diện tích toàn phần của bể không tính nắp là $S = 2x \cdot h + 2 \cdot 2x \cdot h + 2x^2 = 6xh + 2x^2$. Theo đề bài, thể tích bể là $288~m^3$, suy ra $2x^2 \cdot h = 288$, hay $h = \frac{144}{x^2}$. Thay vào biểu thức của diện tích toàn phần ta được: $S = 6x \cdot \frac{144}{x^2} + 2x^2 = \frac{864}{x} + 2x^2$. Ta có $S = \frac{432}{x} + \frac{432}{x} + 2x^2 \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{432}{x} \cdot \frac{432}{x} \cdot 2x^2} = 3 \cdot 72 = 216$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{432}{x} = 2x^2$, hay $x = 6$. Vậy chi phí thuê nhân công thấp nhất là $216 \cdot 50000 = 10800000$ (đồng) $= 10,8$ (triệu đồng). Câu 8. Gọi cạnh hình vuông là a, cạnh tam giác đều là b. Ta có: \[ 4a = x \] \[ 3b = 100 - x \] Diện tích hình vuông là: \[ S_{vuông} = a^2 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16} \] Diện tích tam giác đều là: \[ S_{đều} = \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{100 - x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{(100 - x)^2}{9} = \frac{\sqrt{3}(100 - x)^2}{36} \] Tổng diện tích là: \[ S = S_{vuông} + S_{đều} = \frac{x^2}{16} + \frac{\sqrt{3}(100 - x)^2}{36} \] Để tìm giá trị x sao cho tổng diện tích nhỏ nhất, ta tính đạo hàm của S theo x và đặt nó bằng 0: \[ S' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{16} + \frac{\sqrt{3}(100 - x)^2}{36} \right) \] \[ S' = \frac{2x}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2(100 - x)(-1)}{36} \] \[ S' = \frac{x}{8} - \frac{\sqrt{3}(100 - x)}{18} \] Đặt S' = 0: \[ \frac{x}{8} = \frac{\sqrt{3}(100 - x)}{18} \] \[ 18x = 8\sqrt{3}(100 - x) \] \[ 18x = 800\sqrt{3} - 8\sqrt{3}x \] \[ 18x + 8\sqrt{3}x = 800\sqrt{3} \] \[ x(18 + 8\sqrt{3}) = 800\sqrt{3} \] \[ x = \frac{800\sqrt{3}}{18 + 8\sqrt{3}} \] Rationalize the denominator: \[ x = \frac{800\sqrt{3}(18 - 8\sqrt{3})}{(18 + 8\sqrt{3})(18 - 8\sqrt{3})} \] \[ x = \frac{800\sqrt{3}(18 - 8\sqrt{3})}{324 - 192} \] \[ x = \frac{800\sqrt{3}(18 - 8\sqrt{3})}{132} \] \[ x = \frac{800\sqrt{3} \cdot 18 - 800\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3}}{132} \] \[ x = \frac{14400\sqrt{3} - 19200}{132} \] \[ x = \frac{14400\sqrt{3} - 19200}{132} \approx 47.6 \] Vậy x ≈ 47.6 m.