giúp với gấp Câu 18,Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để hệ phương trình $\left\{\begin{array}lmx+2my=m+1\x+(m+1)y=2\end{array} ight.$ có nghiệm duy nhất $(x;y)$ sao cho $A=x-y$ nhận giá trị nguyên.

Question

giúp với gấp  Câu 18,Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để hệ phương trình $\left\{\begin{array}lmx+2my=m+1\x+(m+1)y=2\end{array}ight.$ có nghiệm duy nhất $(x;y)$ sao cho $A=x-y$ nhận giá trị nguyên.

Accepted Answer

Để tìm giá trị nguyên lớn nhất của $ m $ sao cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}lmx+2my=m+1\x+(m+1)y=2\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất $(x; y)$ sao cho $ A = x - y $ nhận giá trị nguyên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
$$ \frac{m}{1} \neq \frac{2m}{m+1} $$
$$ m(m + 1) \neq 2m $$
$$ m^2 + m \neq 2m $$
$$ m^2 - m \neq 0 $$
$$ m(m - 1) \neq 0 $$

Do đó, $ m \neq 0 $ và $ m \neq 1 $.

Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm $ x $ và $ y $.
Ta có hệ phương trình:
$$ \left\{\begin{array}lmx + 2my = m + 1 \ x + (m + 1)y = 2 \end{array}\right. $$

Nhân phương trình thứ hai với $ m $:
$$ mx + m(m + 1)y = 2m $$

Lấy phương trình này trừ đi phương trình thứ nhất:
$$ mx + m(m + 1)y - (mx + 2my) = 2m - (m + 1) $$
$$ mx + m^2y + my - mx - 2my = 2m - m - 1 $$
$$ m^2y - my = m - 1 $$
$$ y(m^2 - m) = m - 1 $$
$$ y = \frac{m - 1}{m(m - 1)} $$
$$ y = \frac{1}{m} $$

Thay $ y = \frac{1}{m} $ vào phương trình thứ hai:
$$ x + (m + 1) \cdot \frac{1}{m} = 2 $$
$$ x + \frac{m + 1}{m} = 2 $$
$$ x + 1 + \frac{1}{m} = 2 $$
$$ x = 2 - 1 - \frac{1}{m} $$
$$ x = 1 - \frac{1}{m} $$

Bước 3: Tìm giá trị của $ A = x - y $.
$$ A = x - y $$
$$ A = \left(1 - \frac{1}{m}\right) - \frac{1}{m} $$
$$ A = 1 - \frac{2}{m} $$

Để $ A $ là số nguyên, $ \frac{2}{m} $ phải là số nguyên. Do đó, $ m $ phải là ước của 2. Các ước của 2 là $ \pm 1 $ và $ \pm 2 $.

Bước 4: Kiểm tra các giá trị của $ m $ để đảm bảo hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
- $ m = 2 $: Thỏa mãn $ m \neq 0 $ và $ m \neq 1 $.
- $ m = -1 $: Không thỏa mãn vì $ m \neq 0 $ và $ m \neq 1 $.
- $ m = -2 $: Không thỏa mãn vì $ m \neq 0 $ và $ m \neq 1 $.

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $ m $ là $ m = 2 $.

Đáp số: $ m = 2 $.