Câu 15.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số:
2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0:
Chia cả hai vế cho 6:
Phương trình này có thể được phân tích thành:
Do đó, ta có hai nghiệm:
3. Xác định tính chất của các điểm cực trị:
- Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định tính chất của các điểm cực trị:
- Tại :
Do đó, là điểm cực đại.
- Tại :
Do đó, là điểm cực tiểu.
4. So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên:
- Tại :
- Tại :
- Vì đoạn không giới hạn phía trái, ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số khi :
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đạt được tại .
Đáp án: A. 1.
Câu 16.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số.
Hàm số xác định khi . Do đó, miền xác định của hàm số là .
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số.
Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
Bước 3: Tìm điểm cực trị của hàm số.
Đặt :
Trong khoảng , chỉ có nằm trong khoảng này.
Bước 4: Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại điểm .
- Khi (nhưng ), (vì ).
- Khi , (vì ).
Do đó, là điểm cực tiểu của hàm số trên khoảng .
Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng là 3.
Đáp án đúng là: A. 3.
Câu 17.
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;3], ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.
Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0.
Giải phương trình bậc hai:
Trong đoạn [0;3], chỉ có nằm trong khoảng này.
Bước 3: Đánh giá giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị.
- Tại :
- Tại :
- Tại :
Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
- Giá trị lớn nhất
- Giá trị nhỏ nhất
Bước 5: Tính tỉ số .
Vậy đáp án đúng là:
D.
Câu 18.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn , ta cần làm các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số :
Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số trên đoạn :
Từ đây, ta có hai trường hợp:
1.
2.
Ta cần kiểm tra xem phương trình có nghiệm trong đoạn hay không. Ta xét các giá trị của tại các biên của đoạn :
- Tại :
- Tại :
- Tại :
Theo đề bài, . Do đó:
Bước 3: So sánh các giá trị , , và :
-
-
-
Do , ta có:
Bước 4: Xác định giá trị nhỏ nhất của trên đoạn :
-
-
-
Vì , ta thấy rằng sẽ nhỏ hơn và . Do đó, giá trị nhỏ nhất của trên đoạn là:
Câu 19.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số:
2. Tìm các điểm cực trị trong khoảng (-1, 1):
3. Kiểm tra các giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
- Tại :
- Tại :
- Tại :
4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất:
-
-
-
Trong ba giá trị này, giá trị nhỏ nhất là . Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là .
5. Xác định giá trị của sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số là :
Nhưng theo các đáp án đã cho, ta thấy rằng giá trị phải là một trong các lựa chọn A, B, C, D. Do đó, ta kiểm tra lại các giá trị đã cho:
- Nếu :
(không thỏa mãn)
- Nếu :
(không thỏa mãn)
- Nếu :
(không thỏa mãn)
- Nếu :
(không thỏa mãn)
Do đó, ta thấy rằng giá trị đúng là .
Đáp án: D.
Câu 20.
Để tìm vận tốc của chất điểm, ta lấy đạo hàm của hàm số quãng đường theo thời gian .
Vận tốc của chất điểm là:
Để tìm giá trị của tại đó vận tốc đạt giá trị bé nhất, ta cần tìm đạo hàm của và đặt nó bằng 0 để tìm điểm cực tiểu.
Đạo hàm của là:
Đặt đạo hàm này bằng 0 để tìm giá trị của :
Vậy vận tốc của chất điểm đạt giá trị bé nhất khi giây.
Đáp án đúng là: D. (s).
Câu 21.
Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 9 giây, ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm công thức của vận tốc:
Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm là đạo hàm của hàm số quãng đường . Ta có:
Tính đạo hàm của :
2. Tìm cực đại của hàm số vận tốc:
Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số . Ta tính đạo hàm của :
Đặt để tìm điểm cực trị:
3. Kiểm tra tính chất của điểm cực trị:
Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của :
Vì , nên là điểm cực đại của hàm số .
4. Tính vận tốc tại điểm cực đại:
Thay vào công thức của :
5. So sánh với các giá trị biên:
Ta cũng cần kiểm tra vận tốc tại các biên của khoảng thời gian 0 đến 9 giây:
So sánh các giá trị , , và , ta thấy rằng vận tốc lớn nhất là 36 m/s.
Đáp án: D. 36 (m/s)
Câu 22.
Để tìm liều lượng thuốc cần tiêm để huyết áp giảm nhiều nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số .
Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số
vì liều lượng thuốc không thể âm.
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích:
Bước 3: Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0
Bước 4: Kiểm tra các điểm cực đại
- Tại :
- Tại :
Do đó, liều lượng thuốc cần tiêm để huyết áp giảm nhiều nhất là miligam.
Đáp số: Liều lượng thuốc cần tiêm là miligam.