giúp vs ạaaa

Để tìm giá trị \( t \) sao cho số người nhận phúc lợi tối đa, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( n(t) = \frac{t^3}{3} - 6t^2 + 32t \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 12 \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( n(t) \): \[ n'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3} - 6t^2 + 32t\right) = t^2 - 12t + 32 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ n'(t) = t^2 - 12t + 32 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t^2 - 12t + 32 = 0 \] \[ (t - 4)(t - 8) = 0 \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ t = 4 \quad \text{và} \quad t = 8 \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của các điểm cực trị này bằng cách tính đạo hàm thứ hai: \[ n''(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 12t + 32) = 2t - 12 \] - Tại \( t = 4 \): \[ n''(4) = 2(4) - 12 = -4 < 0 \] Vậy \( t = 4 \) là điểm cực đại. - Tại \( t = 8 \): \[ n''(8) = 2(8) - 12 = 4 > 0 \] Vậy \( t = 8 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: So sánh giá trị của \( n(t) \) tại các điểm cực trị và tại các biên của khoảng \( [0, 12] \): - \( n(0) = \frac{0^3}{3} - 6(0)^2 + 32(0) = 0 \) - \( n(4) = \frac{4^3}{3} - 6(4)^2 + 32(4) = \frac{64}{3} - 96 + 128 = \frac{64}{3} + 32 = \frac{64 + 96}{3} = \frac{160}{3} \approx 53.33 \) - \( n(8) = \frac{8^3}{3} - 6(8)^2 + 32(8) = \frac{512}{3} - 384 + 256 = \frac{512}{3} - 128 = \frac{512 - 384}{3} = \frac{128}{3} \approx 42.67 \) - \( n(12) = \frac{12^3}{3} - 6(12)^2 + 32(12) = \frac{1728}{3} - 864 + 384 = 576 - 864 + 384 = 96 \) Từ các kết quả trên, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của \( n(t) \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 12 \) là tại \( t = 12 \). Vậy để số người nhận phúc lợi tối đa thì giá trị \( t \) là 12 năm.