Giải giúp tôi

Câu 22: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số. Phân tích bảng biến thiên: 1. Khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, -1)$ và $(3, +\infty)$ vì $y' > 0$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1, 1)$ và $(1, 3)$ vì $y' < 0$. 2. Giá trị cực trị: - Tại $x = -1$, $y$ đạt giá trị $-2$. - Tại $x = 3$, $y$ đạt giá trị $6$. Xét các khẳng định: a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(7;+\infty)$: - Đúng. Vì trên khoảng $(3, +\infty)$, $y' > 0$, hàm số đồng biến. b) $f(4) < f(5)$: - Đúng. Vì trên khoảng $(3, +\infty)$, hàm số đồng biến, nên $f(4) < f(5)$. c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;3)$: - Sai. Hàm số nghịch biến trên hai khoảng riêng biệt $(-1, 1)$ và $(1, 3)$, không phải trên toàn bộ khoảng $(-1, 3)$. d) Hàm số đạt cực đại tại $v=3$: - Đúng. Tại $x = 3$, hàm số đạt giá trị cực đại $6$. Kết luận: - a) Đúng. - b) Đúng. - c) Sai. - d) Đúng. Câu 24: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta cần phân tích hàm số và đồ thị đã cho. Hàm số: \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{ax + bx + c} \). Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \( ax + bx + c \neq 0 \). a) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((0;1)\). Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: - Trên khoảng \((-1;0)\), \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - Trên khoảng \((0;1)\), \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). Vậy mệnh đề a) đúng. b) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \((1;2)\). Dựa vào đồ thị, điểm cực đại có hoành độ \( x = -1 \) và tung độ \( y = 2 \). Vậy mệnh đề b) sai. c) Hàm số có bảng biến thiên như hình dưới. So sánh bảng biến thiên đã cho với bảng biến thiên từ đồ thị: - Tại \( x = -1 \), hàm số đạt cực đại \( y = 2 \). - Tại \( x = 1 \), hàm số đạt cực tiểu \( y = -2 \). Bảng biến thiên khớp với đồ thị. Vậy mệnh đề c) đúng. d) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \( x=0 \). Dựa vào đồ thị, tại \( x = 0 \), hàm số có tiệm cận đứng. Vậy mệnh đề d) đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) đúng. Câu 25: a) Ta có $f'(x)=\frac{(2x+2)(x-1)-(x^2+2x-2)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.$ Xét dấu $f'(x)$ trên khoảng $(0;2)$ ta thấy $f'(x)< 0$ trên khoảng $(0;2).$ Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2).$ Khẳng định này đúng. b) Ta có $\lim_{x\to +\infty }\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to +\infty }\frac{-x-2}{x-1}=-1.$ Suy ra đường tiệm cận xiên của (C) có phương trình là $y=x+3.$ Khẳng định này sai. c) Ta có $f'(x)=0\Leftrightarrow x=0;x=2.$ Xét dấu $f'(x)$ trên đoạn $[2;4]$ ta thấy $f'(x)>0$ trên khoảng $(2;4).$ Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn $[2;4].$ Do đó, $\min f(x)=f(2)=\frac{13}{2}.$ Khẳng định này đúng. d) Ta có $y'=\frac{x^2-2x+m+2}{(x-1)^2}.$ Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $x^2-2x+m+2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này xảy ra khi $\Delta '=1-(m+2)>0$ và $1^2-2\times 1+m+2\ne 0.$ Giải hệ bất phương trình này ta được $m< -1$ và $m\ne -1.$ Vậy có 3 số nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khẳng định này sai. Câu 26: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta phân tích từng mệnh đề dựa vào bảng biến thiên đã cho. a) Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy tại \(x = 0\), hàm số đạt giá trị \(y = 2\). Vì tại điểm này, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên \(x = 0\) là điểm cực tiểu. Do đó, mệnh đề a) đúng. b) \(x = -2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Bảng biến thiên cho thấy khi \(x\) tiến đến \(-2\) từ hai phía, \(y\) tiến đến \(-\infty\) và \(+\infty\). Điều này cho thấy \(x = -2\) là đường tiệm cận đứng. Do đó, mệnh đề b) đúng. e) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang. Dựa vào bảng biến thiên, khi \(x\) tiến đến \(\pm\infty\), \(y\) tiến đến \(-\infty\) và \(+\infty\). Không có giá trị hữu hạn nào mà \(y\) tiến đến khi \(x\) tiến đến vô cùng, do đó không có đường tiệm cận ngang. Mệnh đề e) sai. d) Biết hàm số \(f(x)\) có dạng \(f(x)=\frac{x^2+bx+c}{x+bx+c}\) khi đó \(f(1)=\frac{5}{3}\). Để kiểm tra mệnh đề này, ta thay \(x = 1\) vào hàm số: \[ f(1) = \frac{1^2 + b \cdot 1 + c}{1 + b \cdot 1 + c} = \frac{1 + b + c}{1 + b + c} = 1 \] Theo đề bài, \(f(1) = \frac{5}{3}\), nhưng tính toán cho thấy \(f(1) = 1\). Do đó, mệnh đề d) sai. Tóm lại: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề e) sai. - Mệnh đề d) sai. Câu 27: Để giải quyết các khẳng định về hàm số \( y = \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} \), chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần. a) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = -x - 6 \). Để tìm tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} \), chúng ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} = -x - 6 + \frac{16}{x - 3} \] Khi \( x \to \pm \infty \), phần dư \( \frac{16}{x - 3} \) tiến đến 0, do đó tiệm cận xiên của hàm số là đường thẳng \( y = -x - 6 \). Khẳng định đúng. b) Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \( (-\infty; 3) \) là \( 2\sqrt{14} - 9 \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \( (-\infty; 3) \), chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xác định các điểm cực trị. \[ y = \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} \] Tính đạo hàm \( y' \): \[ y' = \frac{(-2x - 3)(x - 3) - (-x^2 - 3x + 4)}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{-2x^2 + 6x - 3x + 9 + x^2 + 3x - 4}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 6x + 5}{(x - 3)^2} \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -x^2 + 6x + 5 = 0 \] \[ x^2 - 6x - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 3 \pm \sqrt{14} \] Trong khoảng \( (-\infty; 3) \), chỉ có \( x = 3 - \sqrt{14} \) thuộc khoảng này. Thay \( x = 3 - \sqrt{14} \) vào hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ y = \frac{-(3 - \sqrt{14})^2 - 3(3 - \sqrt{14}) + 4}{(3 - \sqrt{14}) - 3} \] \[ y = \frac{-(9 - 6\sqrt{14} + 14) - 9 + 3\sqrt{14} + 4}{-\sqrt{14}} \] \[ y = \frac{-23 + 6\sqrt{14} - 9 + 3\sqrt{14} + 4}{-\sqrt{14}} \] \[ y = \frac{-28 + 9\sqrt{14}}{-\sqrt{14}} \] \[ y = \frac{28 - 9\sqrt{14}}{\sqrt{14}} \] \[ y = 2\sqrt{14} - 9 \] Khẳng định đúng. c) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy. Điểm cực trị đã tìm được ở trên là \( x = 3 \pm \sqrt{14} \). Trong đó, \( x = 3 - \sqrt{14} \) nằm bên trái trục Oy và \( x = 3 + \sqrt{14} \) nằm bên phải trục Oy. Khẳng định đúng. d) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (2; 3) \). Để kiểm tra tính đơn điệu của hàm số trên khoảng \( (2; 3) \), chúng ta xét dấu của đạo hàm \( y' \) trong khoảng này. \[ y' = \frac{-x^2 + 6x + 5}{(x - 3)^2} \] Trong khoảng \( (2; 3) \), \( (x - 3)^2 > 0 \). Do đó, dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số \( -x^2 + 6x + 5 \). Xét \( -x^2 + 6x + 5 \) trong khoảng \( (2; 3) \): \[ -x^2 + 6x + 5 > 0 \] Do đó, \( y' < 0 \) trong khoảng \( (2; 3) \), hàm số nghịch biến trên khoảng này. Khẳng định đúng. Kết luận: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.